8 Covariância e Correlação

Em engenharia estrutural e de controle, saber como diferentes grandezas interagem é tão crítico quanto entender seus comportamentos isolados. A variação da velocidade do vento afeta a amplitude de vibração de uma ponte estaiada de forma proporcional? O desgaste da ferramenta de corte interage linearmente com a temperatura do processo de usinagem?

Para mensurar a força e a direção dessa dependência linear entre duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$, utilizamos duas métricas fundamentais: a Covariância e o Coeficiente de Correlação.

8.1 Covariância

A covariância calcula a medida em que duas variáveis variam conjuntamente de forma linear. Se altas pressões ocorrem simultaneamente com altas temperaturas, a covariância é positiva. Se altas velocidades ocorrem simultaneamente com baixo torque, a covariância é negativa.

Covariância

Notação:

$Cov(X, Y)$ ou $\sigma_{XY}$

Definição:

É o valor esperado do produto dos desvios de duas variáveis em relação às suas respectivas médias: \[Cov(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]\]

Fórmula Operacional Equivalente:

\[Cov(X, Y) = E[XY] - \mu_X\mu_Y\]

Nota: Para variáveis independentes, $Cov(X,Y) = 0$. O inverso não é necessariamente verdadeiro (elas podem ter relação não-linear com covariância nula).

O aplicativo abaixo permite observar a formação do cálculo da covariância utilizando a tabela conjunta discreta. A mesma ideia fundamental se aplica a variáveis contínuas, mas requer o uso de integrais duplas em vez de somas.

Aplicativo 8.1: Covariância e Correlação Linear (Visualização com Tabela Conjunta Discreta)

8.1.0.1 Exemplo Dificuldade:

O controle de qualidade de uma montadora automotiva mede o torque do robô de aperto de parafusos do bloco do motor ($X$, em Nm) e o tempo necessário para o parafuso atingir o estado estático ($Y$, em segundos).

Foram obtidos os dados discretos (e já marginalizados) das seguintes combinações de operação, onde as médias conhecidas são $\mu_X = 50$ Nm e $\mu_Y = 1.5$ s:

Combinação	Probabilidade	$X$ (Torque)	$Y$ (Tempo)
1	0.3	48	1.8
2	0.5	50	1.5
3	0.2	53	1.0

Qual é a covariância operacional entre essas grandezas?

Solução Analítica:

Utilizando a definição com os dados da tabela, calcula-se $E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]$:

$X=48, Y=1.8: \rightarrow (48 - 50) \times (1.8 - 1.5) = -2 \times 0.3 = -0.6$
$X=50, Y=1.5: \rightarrow (50 - 50) \times (1.5 - 1.5) = 0 \times 0 = 0$
$X=53, Y=1.0: \rightarrow (53 - 50) \times (1.0 - 1.5) = 3 \times (-0.5) = -1.5$

Multiplicando cada termo do desvio combinado pela probabilidade de ocorrência correspondente, temos: \[Cov(X, Y) = 0.3 \times (-0.6) + 0.5 \times (0) + 0.2 \times (-1.5)\] \[Cov(X, Y) = -0.18 + 0 - 0.30 = -0.48\]

A covariância é negativa ($-0.48$), o que comprova numericamente que um maior torque implica em uma estabilização temporal mais rápida.

Prova Computacional:

Código

# Dados do sistema
probabilidades <- c(0.3, 0.5, 0.2)
X <- c(48, 50, 53)
Y <- c(1.8, 1.5, 1.0)
mu_X <- sum(X * probabilidades)
mu_Y <- sum(Y * probabilidades)

# Cálculo da covariância
desvio_X <- X - mu_X
desvio_Y <- Y - mu_Y
cov_XY <- sum(desvio_X * desvio_Y * probabilidades)

cat(sprintf("Covariância calculada: %.4f\n", cov_XY))

Covariância calculada: -0.4800

8.2 Coeficiente de Correlação

O problema prático da covariância é que seu valor numérico é atrelado às unidades das variáveis ($Nm \cdot s$ no exemplo anterior). Isso inviabiliza determinar se a relação linear é “forte” ou “fraca” apenas observando o número absoluto. Para normalizar essa medição, utiliza-se o Coeficiente de Correlação Linear de Pearson.

Coeficiente de Correlação

Notação:

$Corr(X, Y)$ ou $\rho_{XY}$

Definição:

É a covariância dividida pelo produto dos desvios padrões marginais de ambas as variáveis: \[\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\]

Propriedades estruturais:

$-1 \le \rho_{XY} \le 1$
$\rho = 1$: Correlação linear positiva perfeita.
$\rho = -1$: Correlação linear negativa perfeita.
$\rho \approx 0$: Ausência de correlação linear detectável.

Utilize o aplicativo abaixo para visualizar o impacto do espalhamento dos dados em um plano cartesiano no valor resultante do coeficiente de correlação linear, $\rho$.

Aplicativo 8.2: Covariância e Correlação Linear (Visualização Gráfica)

--- title: "Covariância e Correlação" format: html --- ```{r} #| warning: false #| echo: false source("../../functions.R") set.seed(42) ``` Em engenharia estrutural e de controle, saber como diferentes grandezas interagem é tão crítico quanto entender seus comportamentos isolados. A variação da velocidade do vento afeta a amplitude de vibração de uma ponte estaiada de forma proporcional? O desgaste da ferramenta de corte interage linearmente com a temperatura do processo de usinagem? Para mensurar a força e a direção dessa dependência linear entre duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$, utilizamos duas métricas fundamentais: a **Covariância** e o **Coeficiente de Correlação**. ## Covariância A covariância calcula a medida em que duas variáveis variam conjuntamente de forma linear. Se altas pressões ocorrem simultaneamente com altas temperaturas, a covariância é positiva. Se altas velocidades ocorrem simultaneamente com baixo torque, a covariância é negativa. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Covariância ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Notação:** $Cov(X, Y)$ ou $\sigma_{XY}$ **Definição:** É o valor esperado do produto dos desvios de duas variáveis em relação às suas respectivas médias: $$Cov(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]$$ **Fórmula Operacional Equivalente:** $$Cov(X, Y) = E[XY] - \mu_X\mu_Y$$ *Nota:* Para variáveis independentes, $Cov(X,Y) = 0$. O inverso não é necessariamente verdadeiro (elas podem ter relação não-linear com covariância nula). ::: ::: O aplicativo abaixo permite observar a formação do cálculo da covariância utilizando a tabela conjunta discreta. A mesma ideia fundamental se aplica a variáveis contínuas, mas requer o uso de integrais duplas em vez de somas. ::: {#app-covariancia-correlacao-tabular} <iframe src="apps/covariancia_correlacao_tabular.html" width="100%" height="1200px" style="border:none;"></iframe> Covariância e Correlação Linear (Visualização com Tabela Conjunta Discreta) ::: ::: {.exemplo icon="false"} #### Exemplo `r dif(2)` O controle de qualidade de uma montadora automotiva mede o torque do robô de aperto de parafusos do bloco do motor ($X$, em Nm) e o tempo necessário para o parafuso atingir o estado estático ($Y$, em segundos). Foram obtidos os dados discretos (e já marginalizados) das seguintes combinações de operação, onde as médias conhecidas são $\mu_X = 50$ Nm e $\mu_Y = 1.5$ s: | Combinação | Probabilidade | $X$ (Torque) | $Y$ (Tempo) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 1 | 0.3 | 48 | 1.8 | | 2 | 0.5 | 50 | 1.5 | | 3 | 0.2 | 53 | 1.0 | Qual é a covariância operacional entre essas grandezas? *** **Solução Analítica:** Utilizando a definição com os dados da tabela, calcula-se $E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]$: 1. $X=48, Y=1.8: \rightarrow (48 - 50) \times (1.8 - 1.5) = -2 \times 0.3 = -0.6$ 2. $X=50, Y=1.5: \rightarrow (50 - 50) \times (1.5 - 1.5) = 0 \times 0 = 0$ 3. $X=53, Y=1.0: \rightarrow (53 - 50) \times (1.0 - 1.5) = 3 \times (-0.5) = -1.5$ Multiplicando cada termo do desvio combinado pela probabilidade de ocorrência correspondente, temos: $$Cov(X, Y) = 0.3 \times (-0.6) + 0.5 \times (0) + 0.2 \times (-1.5)$$ $$Cov(X, Y) = -0.18 + 0 - 0.30 = -0.48$$ A covariância é negativa ($-0.48$), o que comprova numericamente que um maior torque implica em uma estabilização temporal mais rápida. **Prova Computacional:** ```{r} #| warning: false # Dados do sistema probabilidades <- c(0.3, 0.5, 0.2) X <- c(48, 50, 53) Y <- c(1.8, 1.5, 1.0) mu_X <- sum(X * probabilidades) mu_Y <- sum(Y * probabilidades) # Cálculo da covariância desvio_X <- X - mu_X desvio_Y <- Y - mu_Y cov_XY <- sum(desvio_X * desvio_Y * probabilidades) cat(sprintf("Covariância calculada: %.4f\n", cov_XY)) ``` ::: ## Coeficiente de Correlação O problema prático da covariância é que seu valor numérico é atrelado às unidades das variáveis ($Nm \cdot s$ no exemplo anterior). Isso inviabiliza determinar se a relação linear é "forte" ou "fraca" apenas observando o número absoluto. Para normalizar essa medição, utiliza-se o **Coeficiente de Correlação Linear de Pearson**. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Coeficiente de Correlação ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Notação:** $Corr(X, Y)$ ou $\rho_{XY}$ **Definição:** É a covariância dividida pelo produto dos desvios padrões marginais de ambas as variáveis: $$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$ **Propriedades estruturais:** 1. $-1 \le \rho_{XY} \le 1$ 2. $\rho = 1$: Correlação linear positiva perfeita. 3. $\rho = -1$: Correlação linear negativa perfeita. 4. $\rho \approx 0$: Ausência de correlação linear detectável. ::: ::: Utilize o aplicativo abaixo para visualizar o impacto do espalhamento dos dados em um plano cartesiano no valor resultante do coeficiente de correlação linear, $\rho$. ::: {#app-covariancia-correlacao-grafico} <iframe src="apps/covariancia_correlacao_grafico.html" width="100%" height="1260px" style="border:none;"></iframe> Covariância e Correlação Linear (Visualização Gráfica) :::