11 Distribuição Amostral

A distribuição das estatísticas amostrais representa a população de todas as possíveis estatísticas oriundas de uma amostra de tamanho $n$ de variável aleatória.

A convergência em forma de distribuição e dos parâmetros dessa distribuição amostral são elucidadas pela Lei dos Grandes Números e pelo Teorema Central do Limite.

De acordo com a teoria e pelas simulações conseguimos verificar que a distribuição de algumas estatísticas amostrais, como a média amostral, resulta em uma distribuição na forma de uma normal.

Vamos analisar a distriuição amostral de algumas estatísticas, como a soma amostral ($S_n$), média amostral ($\bar{X}$), proporção amostral ($\hat{P}$) e variância amostral ($S^2$), além de outras distribuições derivadas.

Mas o que de fato significa distribuição amostral? Significa dizer que os resultados das estatísticas amostrais variam de amostra para amostra. Ou seja, em uma amostra de tamanho $n$ poderíamos ter um resultado e em outra amostra, de mesmo tamanho $n$, poderíamos ter outro resultado. A distribuição amostral de uma estatística amostral é a distribuição de todas as possíveis estatísticas amostrais de uma amostra de tamanho $n$ de variável aleatória.

Distribuição Amostral

Definição: A distribuição amostral de uma estatística amostral é a distribuição de todas as possíveis estatísticas amostrais de uma amostra de tamanho $n$ de variável aleatória.

11.1 A Soma Amostral ($S_n$)

A distribuição da soma amostral é a distribuição de probabilidade obtida pela soma dos valores de todas as amostras possíveis de mesmo tamanho retiradas de uma mesma população. Se as variáveis são independentes, sua média é $n\mu$ e sua variância é $n\sigma^2$, convergindo para uma distribuição normal para $n$ grande.

O comportamento da distribuição da soma amostral depende da natureza da população do qual a amostra é retirada e do tamanho da amostra ($n$).

População Normal: Se a variável aleatória da população da qual é retirada a amostra tem uma distribuição normal, a soma amostral também terá distribuição normal, independentemente do tamanho da amostra $n$.
População Qualquer e Amostra Grande ($n \geq 50$): Pelo Teorema do Limite Central, mesmo que a variável aleatória da população não seja normal, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição da soma amostral se aproxima de uma distribuição normal.
Amostra Pequena e População Não-Normal: A distribuição da soma amostral dependerá da distribuição original da variável aleatória da população.

Propriedades da Soma Amostral

Propriedades: Assumindo que a amostra é i.i.d. (idêntica e independentemente distribuída)

\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i = X_1 + X_2 + \dots + X_n \]

Valor Esperado:

\[E[S_n] = E[X_1 + X_2 + \dots + X_n] = E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_n] = n\mu\]

Variância:

\[V(S_n) = V(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \dots + V(X_n) = n\sigma^2\]

Distribuição: Converge para uma distribuição normal para $n$ grande. Para outras distribuições, $S_n$ pode tender a outras distribuições, como a distribuição gama, entre outras.

11.1.0.1 Exemplo: Soma de Variáveis Exponenciais

Imagine que o tempo de vida de um componente eletrônico segue uma distribuição exponencial com parâmetro de taxa $\lambda = 0.1$ (média $\mu = 10$ horas). Vamos analisar o comportamento da soma de 3 componentes em série.

População: $X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 0.1)$
Média Populacional: $\mu = 10$
Variância Populacional: $\sigma^2 = 100$
Tamanho da Amostra ($n$): 3
Soma: $S_3 = X_1 + X_2 + X_3$

Como a amostra é pequena e a população não é normal, esperamos uma distribuição assimétrica (Gama). A forma da distribuição da soma de variáveis exponenciais é a distribuição gama com parâmetro de forma $k=n$ e parâmetro de taxa $\lambda$, isso é determinado utilizando a convolução das distribuições. Vamos simular isso, empiricamente e apresentar os resultados em forma de histograma e a função teórica, uma Gama(3,1):

11.2 A Média Amostral ($\bar{X}$)

Uma ponte fundamental para as engenharias estatísticas subsequentes é estudar como a média de múltiplas medições independentes reage aos ruídos. Se tivermos uma série de medições $X_1, X_2, \dots, X_n$, onde todas partilham a mesma distribuição populacional (mesma média $\mu$ e variância $\sigma^2$), chamamos essas variáveis de idêntica e independentemente distribuídas (i.i.d.).

A Média Amostral ($\bar{X}$) é simplesmente uma operação matemática linear, sendo a soma dividida por uma constante estrutural ($1/n$):

\[ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} \]

Propriedades da Média Amostral

Com base nas propriedades que acabamos de estudar, vejamos o comportamento estrutural de $\bar{X}$:

Valor Esperado: A média das amostras visa puramente replicar o centro populacional alvo.

\[ E[\bar{X}] = E\left[ \frac{1}{n} \sum X_i \right] = \frac{1}{n} \left( E[X_1] + \dots + E[X_n] \right) = \frac{1}{n}(n \mu) = \mu \]

Variância: Este é o ponto vital: A constante multiplicativa $1/n$ sai da fórmula da variância inflada ao quadrado ($1/n^2$), operando contra a soma das $n$ variâncias populacionais. O resultado é o aniquilamento do ruído.

\[ Var(\bar{X}) = Var\left( \frac{1}{n} \sum X_i \right) = \frac{1}{n^2} \left( Var(X_1) + \dots + Var(X_n) \right) = \frac{1}{n^2}(n \sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n} \]

O resultado contundente provado matematicamente é que o desvio padrão em torno de uma média investigativa diminui como $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Ao obtermos a média amostral de $4$ peças aleatórias ao invés de verificar o defeito numa medição individual de uma só peça, cortamos a incerteza estatística global do experimento rigorosamente pela metade.

Este comportamento axiomático – o amortecimento da variabilidade através do tamanho da amostra – alicerça o conceito das Distribuições Amostrais, tema central do próximo tópico deste módulo.

--- title: "Distribuição Amostral" format: html --- ```{r} #| warning: false #| echo: false # Load required libraries # getwd() source("../../functions.R") # descendo dois níveis do caminho atual ``` A distribuição das estatísticas amostrais representa a população de todas as possíveis estatísticas oriundas de uma amostra de tamanho $n$ de variável aleatória. A convergência em forma de distribuição e dos parâmetros dessa distribuição amostral são elucidadas pela Lei dos Grandes Números e pelo Teorema Central do Limite. De acordo com a teoria e pelas simulações conseguimos verificar que a distribuição de algumas estatísticas amostrais, como a média amostral, resulta em uma distribuição na forma de uma normal. Vamos analisar a distriuição amostral de algumas estatísticas, como a soma amostral ($S_n$), média amostral ($\bar{X}$), proporção amostral ($\hat{P}$) e variância amostral ($S^2$), além de outras distribuições derivadas. Mas o que de fato significa distribuição amostral? Significa dizer que os resultados das estatísticas amostrais variam de amostra para amostra. Ou seja, em uma amostra de tamanho $n$ poderíamos ter um resultado e em outra amostra, de mesmo tamanho $n$, poderíamos ter outro resultado. A distribuição amostral de uma estatística amostral é a distribuição de todas as possíveis estatísticas amostrais de uma amostra de tamanho $n$ de variável aleatória. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Distribuição Amostral ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Definição:** A distribuição amostral de uma estatística amostral é a distribuição de todas as possíveis estatísticas amostrais de uma amostra de tamanho $n$ de variável aleatória. ::: ::: ## A Soma Amostral ($S_n$) A distribuição da soma amostral é a distribuição de probabilidade obtida pela soma dos valores de todas as amostras possíveis de mesmo tamanho retiradas de uma mesma população. Se as variáveis são independentes, sua média é $n\mu$ e sua variância é $n\sigma^2$, convergindo para uma distribuição normal para $n$ grande. O comportamento da distribuição da soma amostral depende da natureza da população do qual a amostra é retirada e do tamanho da amostra ($n$). - **População Normal:** Se a variável aleatória da população da qual é retirada a amostra tem uma distribuição normal, a soma amostral também terá distribuição normal, independentemente do tamanho da amostra $n$. - **População Qualquer e Amostra Grande ($n \geq 50$):** Pelo Teorema do Limite Central, mesmo que a variável aleatória da população não seja normal, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição da soma amostral se aproxima de uma distribuição normal. - **Amostra Pequena e População Não-Normal:** A distribuição da soma amostral dependerá da distribuição original da variável aleatória da população. :::{.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Propriedades da Soma Amostral ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Propriedades:** Assumindo que a amostra é i.i.d. (idêntica e independentemente distribuída) $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i = X_1 + X_2 + \dots + X_n $$ **Valor Esperado:** $$E[S_n] = E[X_1 + X_2 + \dots + X_n] = E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_n] = n\mu$$ **Variância:** $$V(S_n) = V(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \dots + V(X_n) = n\sigma^2$$ **Distribuição:** Converge para uma distribuição normal para $n$ grande. Para outras distribuições, $S_n$ pode tender a outras distribuições, como a distribuição gama, entre outras. ::: ::: ::: {.exemplo icon="false"} #### Exemplo: Soma de Variáveis Exponenciais Imagine que o tempo de vida de um componente eletrônico segue uma distribuição exponencial com parâmetro de taxa $\lambda = 0.1$ (média $\mu = 10$ horas). Vamos analisar o comportamento da soma de 3 componentes em série. - População: $X \sim \text{Exponencial}(\lambda = 0.1)$ - Média Populacional: $\mu = 10$ - Variância Populacional: $\sigma^2 = 100$ - Tamanho da Amostra ($n$): 3 - Soma: $S_3 = X_1 + X_2 + X_3$ Como a amostra é pequena e a população não é normal, esperamos uma distribuição assimétrica (Gama). A forma da distribuição da soma de variáveis exponenciais é a distribuição gama com parâmetro de forma $k=n$ e parâmetro de taxa $\lambda$, isso é determinado utilizando a convolução das distribuições. Vamos simular isso, empiricamente e apresentar os resultados em forma de histograma e a função teórica, uma Gama(3,1): ```{r} #| fig-width: 12 #| fig-height: 8 #| echo: false plot_soma_va( n_sim = 100000, n_vars = 3, r_func = rexp, # Função geradora d_func = dgamma, # Densidade teórica args_r = list(rate = 0.1), # Argumentos da geradora args_d = list(shape = 3, rate = 0.1), # Argumentos da densidade teórica nome_dist = "Exponencial(λ=0.1)" ) ``` ```{r} #| fig-width: 12 #| fig-height: 8 #| echo: false plot_soma_va_avancado( n_sim = 10000, n_vars = 3, r_func = rexp, d_func = dgamma, args_r = list(rate = 1), args_d = list(shape = 3, rate = 1), mu_teorico = 3, # Média Teórica de Sn var_teorica = 3, # Variância Teórica de Sn nome_dist = "Exponencial(λ=1)" ) ``` ::: ## A Média Amostral ($\bar{X}$) Uma ponte fundamental para as engenharias estatísticas subsequentes é estudar como a *média* de múltiplas medições independentes reage aos ruídos. Se tivermos uma série de medições $X_1, X_2, \dots, X_n$, onde todas partilham a mesma distribuição populacional (mesma média $\mu$ e variância $\sigma^2$), chamamos essas variáveis de **idêntica e independentemente distribuídas** (i.i.d.). A Média Amostral ($\bar{X}$) é simplesmente uma operação matemática linear, sendo a soma dividida por uma constante estrutural ($1/n$): $$ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} $$ ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Propriedades da Média Amostral ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} Com base nas propriedades que acabamos de estudar, vejamos o comportamento estrutural de $\bar{X}$: **Valor Esperado:** A média das amostras visa puramente replicar o centro populacional alvo. $$ E[\bar{X}] = E\left[ \frac{1}{n} \sum X_i \right] = \frac{1}{n} \left( E[X_1] + \dots + E[X_n] \right) = \frac{1}{n}(n \mu) = \mu $$ **Variância:** *Este é o ponto vital:* A constante multiplicativa $1/n$ sai da fórmula da variância inflada ao quadrado ($1/n^2$), operando contra a soma das $n$ variâncias populacionais. O resultado é o aniquilamento do ruído. $$ Var(\bar{X}) = Var\left( \frac{1}{n} \sum X_i \right) = \frac{1}{n^2} \left( Var(X_1) + \dots + Var(X_n) \right) = \frac{1}{n^2}(n \sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n} $$ ::: ::: O resultado contundente provado matematicamente é que o desvio padrão em torno de uma média investigativa diminui como $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Ao obtermos a média amostral de $4$ peças aleatórias ao invés de verificar o defeito numa medição individual de uma só peça, cortamos a incerteza estatística global do experimento rigorosamente *pela metade*. Este comportamento axiomático – o amortecimento da variabilidade através do tamanho da amostra – alicerça o conceito das **Distribuições Amostrais**, tema central do próximo tópico deste módulo.

11 Distribuição Amostral

11.1 A Soma Amostral (\(S_n\))

11.2 A Média Amostral (\(\bar{X}\))