Ao projetar sistemas e processos, engenheiros raramente lidam com uma única variável isolada. Componentes são montados em série, tolerâncias se acumulam em eixos, e o custo operacional é frequentemente uma função atrelada ao consumo de energia variável. Para transpor nossas análises de componentes unitários para sistemas integrados, e para compreender futuramente as bases da inferência estatística (Distribuições Amostrais), precisamos entender como o valor esperado e a variância se comportam perante funções lineares e somas de variáveis aleatórias.

As propriedades estabelecidas neste tópico são universalmente válidas: aplicam-se a variáveis aleatórias discretas e contínuas.

9.1 Funções Lineares de uma Variável Aleatória

Na engenharia, é muito frequente alterar a escala ou a referência de uma medição física. O modelo matemático que traduz essa operação é a função linear \(Y = aX + b\), onde \(X\) é a variável aleatória original, \(a\) é uma constante de escala (mudança de unidade) e \(b\) é uma constante de deslocamento (mudança de referência).

Propriedades da Função Linear

Seja \(X\) uma variável aleatória com valor esperado \(E[X]\) e variância \(V[X]\). Seja \(Y = aX + b\). Então:

Valor Esperado: O deslocamento afeta o centro de massa.

\[E[aX + b] = aE[X] + b\]

Variância: A dispersão não é afetada por uma constante estática (\(b\)), mas a mudança de escala inflaciona a variância de forma quadrática.

\[V[aX + b] = a^2 V[X]\]

Nota: O desvio padrão acompanha a escala de forma absoluta: \(DP[aX + b] = |a| DP[X]\).

Exemplo9.1.0.1 Exemplo Dificuldade:

O custo de matéria-prima para a usinagem de um bloco de motor é uma função atrelada ao peso bruto da peça base fundida. O peso bruto (\(X\)) possui comportamento aleatório devido a inconsistências do molde, com peso médio esperado de \(120\) kg e desvio padrão de \(3\) kg.

O custo da usinagem (\(C\)) em Reais é taxado linearmente como uma taxa base da máquina de \(R\$ 50.00\), mais \(R\$ 15.00\) por quilo processado. Qual o custo esperado para cada peça e o seu desvio padrão?

Solução Analítica:

Temos a variável \(X\) (peso) com

  • \(E[X]= \mu = 120\)
  • \(DP[X] = \sigma = 3\)
  • \(V[X] = \sigma^2 = 3^2 = 9\).

O custo é definido pela função linear:

\[ C = 15X + 50 \]

Aplicando as propriedades operatórias da esperança para encontrar o custo médio esperado: \[ E[C] = E[15X + 50] = 15E[X] + 50 = 15(120) + 50 = 1800 + 50 = 1850 \] O custo esperado por bloco é de R$ 1850.

Calculando a variância e desvio padrão do custo: \[ V[C] = V[15X + 50] = 15^2 V[X] = 225 \times 9 = 2025 \] O desvio padrão do custo é \(\sqrt{2025} = 45\) Reais (ou de forma mais direta: \(|15| \times 3 = 45\)).

Prova Computacional (Simulação de Monte Carlo):

Código 
n_sim <- 100000
pesos_X <- rnorm(n_sim, mean = 120, sd = 3) # Gerando os pesos
custos_C <- 15 * pesos_X + 50

cat(sprintf("Teoria -> Valor Esperado: R$ 1850 | Desvio Padrão: R$ 45\n"))
Teoria -> Valor Esperado: R$ 1850 | Desvio Padrão: R$ 45
Código 
cat(sprintf(
    "Simulação -> Valor Esperado: R$ %.2f | Desvio Padrão: R$ %.2f\n",
    mean(custos_C), sd(custos_C)
))
Simulação -> Valor Esperado: R$ 1849.81 | Desvio Padrão: R$ 45.15

9.2 A Soma de Variáveis Aleatórias

A montagem de sistemas em série demanda que analisemos a propagação do comportamento somado de seus componentes. Quando lidamos com duas (ou mais) variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\), a soma combinada obedece às regras axiomáticas abaixo.

Propriedades da Soma

Sejam \(X_1, X_2, \dots, X_n\) variáveis aleatórias, com soma \(Y = X_1 + X_2 + \dots + X_n\).

Valor Esperado da Soma: (Válido para quaisquer variáveis, independentes ou não)

\[E[X_1 + X_2 + \dots + X_n] = E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_n]\]

A média da soma é sempre a soma das médias.

Variância da Soma: (Válido apenas se as variáveis forem independentes)

\[V(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \dots + V(X_n)\]

A variância se acumula, mas os desvios padrões não se somam diretamente

\[DP_{total} = \sigma_{total} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \dots + \sigma_n^2}\]

Variância da Soma: (Válido para quaisquer variáveis, independentes ou não)

\[V(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \dots + V(X_n) + 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n Cov(X_i, X_j)\]

o termo \(Cov(X_i, X_j)\) representa a covariância entre as variáveis \(X_i\) e \(X_j\). Se as variáveis forem independentes, \(Cov(X_i, X_j) = 0\), e a fórmula se reduz à primeira fórmula apresentada. Em geral, a covariância é expressa por \(Cov(X_i, X_j) = E[(X_i - E[X_i])(X_j - E[X_j])]\).

Exemplo9.2.0.1 Exemplo Dificuldade:

Uma fabricante de baterias elétricas para drones acopla duas células independentes em série para obter o pacote final de propulsão. A voltagem da Célula 1 (\(X_1\)) segue uma distribuição contínua com média de \(3.70\) e variância de \(0.04\). A voltagem da Célula 2 (\(X_2\)) provém de outro lote, tendo média de \(3.75\) e variância de \(0.05\).

Qual a voltagem média total e o desvio padrão final do pacote montado?

Solução Analítica:

A voltagem final é a soma linear \(Y = X_1 + X_2\).

O valor esperado é puramente aditivo: \[ E[Y] = E[X_1] + E[X_2] = 3.70 + 3.75 = 7.45\]

Ou seja, em média, o pacote de bateria fornecerá 7.45V. Note que esse resultado é exato e não depende da correlação entre as células.

Como as células operam e falham de maneira estritamente autônoma (são independentes), as variâncias se combinam de forma aditiva: \[ V[Y] = V[X_1] + V[X_2] = 0.04 + 0.05 = 0.09\]

O desvio padrão final do pacote é a raiz da variância somada: \[ DP[Y] = \sqrt{0.09} = 0.30\]

Ou seja, em média, a voltagem total irá variar em 0.30V para mais ou para menos.

Prova Computacional:

Código 
n_sim <- 100000
v1 <- rnorm(n_sim, mean = 3.70, sd = sqrt(0.04))
v2 <- rnorm(n_sim, mean = 3.75, sd = sqrt(0.05))
y_total <- v1 + v2

cat(sprintf("Teoria -> Esperança: 7.45 V | Desvio Padrão: 0.30 V\n"))
Teoria -> Esperança: 7.45 V | Desvio Padrão: 0.30 V
Código 
cat(sprintf(
    "Simulação -> Esperança: %.2f V | Desvio Padrão: %.2f V\n",
    mean(y_total), sd(y_total)
))
Simulação -> Esperança: 7.45 V | Desvio Padrão: 0.30 V

9.3 Combinações Lineares de Variáveis Normais

Uma propriedade de ouro e raríssima entre as famílias de distribuições de probabilidade é a capacidade de reter sua identidade analítica após a adição. A Distribuição Normal é abençoada com este atributo.

Conservação do Formato Normal

Sejam \(X_1, X_2, \dots, X_n\) variáveis aleatórias que seguem distribuições independentes Estritamente Normais.

Qualquer combinação linear dessas variáveis (\(Y = c_1X_1 + c_2X_2 + \dots + c_nX_n\)) manterá exata e estritamente o formato de uma Distribuição Normal, ou seja, \(Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)\).

A combinação da incerteza não distorce as caudas nem achata o sino; ela simplesmente re-escala e desloca o centro, garantindo a utilização livre da padronização \(Z\) em qualquer etapa da montagem final.

Exemplo9.3.0.1 Exemplo Dificuldade:

O tempo total de percurso (\(T\)) de um veículo não-tripulado para explorar dois galpões paralelos é a soma de duas tarefas: navegar o corredor \(A\) (\(X_1\)) e o corredor \(B\) (\(X_2\)). Sabe-se empiricamente que o comportamento das esteiras confere uma natureza normal a ambos os tempos, tal que \(X_1 \sim N(\mu_1 = 12, \sigma_1 = 1.5)\) e \(X_2 \sim N(\mu_2 = 15, \sigma_2 = 2.0)\) em minutos. Qual é a probabilidade do veículo autônomo concluir a missão total em menos de \(30\) minutos?

Solução Analítica:

Como \(X_1\) e \(X_2\) são independentes e normalmente distribuídas, o tempo da missão \(T = X_1 + X_2\) será inevitavelmente estruturado como uma curva normal \(T \sim N(\mu_T, \sigma^2_T)\).

  1. \(E[T] = E[X_1] + E[X_2] = 12 + 15 = 27\) minutos.
  2. \(V(T) = V(X_1) + V(X_2) = 1.5^2 + 2.0^2 = 2.25 + 4.0 = 6.25\) minutos².
  3. O desvio padrão combinado é \(\sigma_T = \sqrt{6.25} = 2.5\) minutos.

O problema requer \(P(T < 30)\). Com \(T \sim N(\mu = 27, \sigma = 2.5)\), usamos a variável padronizada \(Z\): \[ Z = \frac{30 - 27}{2.5} = \frac{3}{2.5} = 1.2 \]

Assim, procuramos \(P(Z < 1.2)\), usando o software estatístico ou a tabela da normal padrão, \(\Phi(z=1.2) \approx 0.8849\)

\[ P(T < 30) = P(Z < 1.2) \approx 0.8849 \]

A probabilidade de retorno em segurança no tempo estipulado é \(\approx 88.5\%\).

Prova Computacional:

Código 
n_sim <- 100000
x1 <- rnorm(n_sim, mean = 12, sd = 1.5)
x2 <- rnorm(n_sim, mean = 15, sd = 2.0)
t_total <- x1 + x2

prob_analitica <- pnorm(1.2)
prob_simulada <- mean(t_total < 30)

cat(sprintf("Teoria: %.4f | Simulação: %.4f\n", prob_analitica, prob_simulada))
Teoria: 0.8849 | Simulação: 0.8848
Exemplo9.3.0.2 Exemplo Dificuldade:

Em uma linha de montagem automatizada de placas de circuito impresso (PCBs), a qualidade da soldagem automatizada é monitorada através de dois indicadores discretos de erro por placa: o número de componentes com desalinhamento mecânico severo (\(X \in \{0, 1, 2\}\)) e o número de conexões com solda fria ou defeituosa (\(Y \in \{0, 1, 2\}\)). Devido ao comportamento térmico e posicional do processo, essas duas variáveis apresentam dependência estatística.

A função de probabilidade conjunta bivariada \(p_{X,Y}(x,y) = P(X=x, Y=y)\) é dada pela tabela a seguir:

\(p_{X,Y}(x, y)\) \(Y = 0\) \(Y = 1\) \(Y = 2\)
\(X = 0\) 0.45 0.10 0.02
\(X = 1\) 0.15 0.12 0.03
\(X = 2\) 0.05 0.03 0.05

Com base nesse cenário de controle de processos, determine:

  1. A probabilidade de a placa apresentar pelo menos uma falha de alinhamento e pelo menos uma falha de soldagem (\(P(X \ge 1, Y \ge 1)\)).
  2. A probabilidade condicional de a placa apresentar exatamente duas falhas de desalinhamento (\(X=2\)), dado que foi detectada exatamente uma falha de soldagem (\(Y=1\)).
  3. O valor esperado condicional do número de desalinhamentos (\(X\)), dado que a placa possui uma falha de soldagem (\(E[X \mid Y=1]\)).
  4. A covariância \(Cov(X,Y)\) e o coeficiente de correlação linear \(\rho_{XY}\) entre as duas grandezas.
  5. A função de probabilidade da variável aleatória soma \(S = X + Y\) (total de defeitos combinados na placa) e o seu valor esperado \(E[S]\) e a variância \(V(S)\).

Solução Analítica:

a) Cálculo da Probabilidade Conjunta: O evento “pelo menos uma falha de alinhamento (\(X \ge 1\)) e pelo menos uma falha de soldagem (\(Y \ge 1\))” corresponde aos pares \((x,y)\) em que \(x \in \{1, 2\}\) e \(y \in \{1, 2\}\). Somando os valores correspondentes da tabela conjunta: \[P(X \ge 1, Y \ge 1) = p_{X,Y}(1,1) + p_{X,Y}(1,2) + p_{X,Y}(2,1) + p_{X,Y}(2,2)\] \[P(X \ge 1, Y \ge 1) = 0.12 + 0.03 + 0.03 + 0.05 = 0.23\] Há \(23\%\) de chance de uma placa apresentar simultaneamente ambos os tipos de defeitos.

b) Cálculo da Probabilidade Condicional: Pela definição de probabilidade condicional: \[P(X = 2 \mid Y = 1) = \frac{P(X=2, Y=1)}{P(Y=1)}\] Primeiro, determinamos a probabilidade marginal de \(Y=1\) somando a respectiva linha da tabela: \[p_Y(1) = \sum_{x=0}^{2} p_{X,Y}(x,1) = 0.10 + 0.12 + 0.03 = 0.25\] Portanto: \[P(X = 2 \mid Y = 1) = \frac{0.03}{0.25} = 0.12\] A probabilidade condicional de ocorrerem dois desalinhamentos sob a condição de haver uma falha de solda é de \(12\%\).

c) Cálculo do Valor Esperado Condicional: Para calcular \(E[X \mid Y=1]\), determinamos primeiro a distribuição de probabilidade condicional de \(X\) dado \(Y=1\): - \(P(X=0 \mid Y=1) = \frac{p_{X,Y}(0,1)}{p_Y(1)} = \frac{0.10}{0.25} = 0.40\) - \(P(X=1 \mid Y=1) = \frac{p_{X,Y}(1,1)}{p_Y(1)} = \frac{0.12}{0.25} = 0.48\) - \(P(X=2 \mid Y=1) = \frac{p_{X,Y}(2,1)}{p_Y(1)} = \frac{0.03}{0.25} = 0.12\)

Aplicando a definição de esperança matemática: \[E[X \mid Y=1] = \sum_{x=0}^{2} x \cdot P(X=x \mid Y=1)\] \[E[X \mid Y=1] = 0 \cdot (0.40) + 1 \cdot (0.48) + 2 \cdot (0.12) = 0.48 + 0.24 = 0.72 \text{ desalinhamentos}\]

d) Cálculo da Covariância e da Correlação: Para a covariância e a correlação, precisamos das médias (valores esperados) e variâncias marginais. 1. Distribuições Marginais: - Para \(X\): - \(p_X(0) = 0.45 + 0.10 + 0.02 = 0.57\) - \(p_X(1) = 0.15 + 0.12 + 0.03 = 0.30\) - \(p_X(2) = 0.05 + 0.03 + 0.05 = 0.13\) - Para \(Y\): - \(p_Y(0) = 0.45 + 0.15 + 0.05 = 0.65\) - \(p_Y(1) = 0.10 + 0.12 + 0.03 = 0.25\) - \(p_Y(2) = 0.02 + 0.03 + 0.05 = 0.10\)

  1. Valores Esperados Marginais: \[\mu_X = E[X] = 0 \cdot (0.57) + 1 \cdot (0.30) + 2 \cdot (0.13) = 0.56\] \[\mu_Y = E[Y] = 0 \cdot (0.65) + 1 \cdot (0.25) + 2 \cdot (0.10) = 0.45\]

  2. Segundo Momento e Variâncias Marginais: \[E[X^2] = 0^2 \cdot (0.57) + 1^2 \cdot (0.30) + 2^2 \cdot (0.13) = 0.82\] \[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 0.82 - (0.56)^2 = 0.82 - 0.3136 = 0.5064\] \[\sigma_X = \sqrt{0.5064} \approx 0.7116\]

    \[E[Y^2] = 0^2 \cdot (0.65) + 1^2 \cdot (0.25) + 2^2 \cdot (0.10) = 0.65\] \[Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 0.65 - (0.45)^2 = 0.65 - 0.2025 = 0.4475\] \[\sigma_Y = \sqrt{0.4475} \approx 0.6690\]

  3. Valor Esperado do Produto \(E[XY]\): \[E[XY] = \sum_{x} \sum_{y} x \cdot y \cdot p_{X,Y}(x,y)\] Como os termos contendo \(x=0\) ou \(y=0\) são nulos, calculamos apenas para \(x,y \ge 1\): \[E[XY] = (1 \cdot 1 \cdot p_{X,Y}(1,1)) + (1 \cdot 2 \cdot p_{X,Y}(1,2)) + (2 \cdot 1 \cdot p_{X,Y}(2,1)) + (2 \cdot 2 \cdot p_{X,Y}(2,2))\] \[E[XY] = (1 \cdot 0.12) + (2 \cdot 0.03) + (2 \cdot 0.03) + (4 \cdot 0.05) = 0.12 + 0.06 + 0.06 + 0.20 = 0.44\]

  4. Covariância: \[Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0.44 - (0.56 \cdot 0.45) = 0.44 - 0.252 = 0.1880\] Como a covariância é positiva (\(0.1880\)), há uma tendência de que o aumento do desalinhamento de componentes esteja associado a um maior número de soldas defeituosas.

  5. Coeficiente de Correlação Linear: \[\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0.1880}{0.7116 \cdot 0.6690} \approx 0.3949\] A relação linear positiva entre desalinhamentos e soldas frias tem força moderada (\(\approx 0.3949\)).

e) Soma das Variáveis Aleatórias: A variável \(S = X + Y\) representa a quantidade total de defeitos na PCB. O suporte de \(S\) é \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\). Mapeamos a função de probabilidade \(P(S=s)\) acumulando todas as probabilidades conjuntas que resultam em cada soma \(s\): - \(P(S=0) = P(X=0, Y=0) = 0.45\) - \(P(S=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=0, Y=1) = 0.15 + 0.10 = 0.25\) - \(P(S=2) = P(X=2, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=0, Y=2) = 0.05 + 0.12 + 0.02 = 0.19\) - \(P(S=3) = P(X=2, Y=1) + P(X=1, Y=2) = 0.03 + 0.03 = 0.06\) - \(P(S=4) = P(X=2, Y=2) = 0.05\)

Portanto, a distribuição de \(S\) é dada por:

\(s\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
\(P(S=s)\) 0.45 0.25 0.19 0.06 0.05

A soma das probabilidades é \(0.45 + 0.25 + 0.19 + 0.06 + 0.05 = 1.00\).

O valor esperado de \(S\) pode ser obtido diretamente a partir de sua distribuição ou pela propriedade da linearidade do valor esperado (\(E[X+Y] = E[X] + E[Y]\)): \[E[S] = E[X] + E[Y] = 0.56 + 0.45 = 1.01 \text{ defeitos por placa}\]

Calculando diretamente para fins de verificação: \[E[S] = 0 \cdot (0.45) + 1 \cdot (0.25) + 2 \cdot (0.19) + 3 \cdot (0.06) + 4 \cdot (0.05)\] \[E[S] = 0 + 0.25 + 0.38 + 0.18 + 0.20 = 1.01 \text{ defeitos}\]

A variância de \(S\) pode ser obtido diretamente a partir de sua distribuição ou pela propriedade da linearidade:

\[V(S) = V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)\]

\[V(S) = 0.5064 + 0.4475 + 2 \cdot (0.1880) = 0.9539 + 0.3760 = 1.3299\]

que é igual se calcularmos pela distribuição de \(S\):

\[V(S) = 0^2 \cdot (0.45) + 1^2 \cdot (0.25) + 2^2 \cdot (0.19) + 3^2 \cdot (0.06) + 4^2 \cdot (0.05) - (1.01)^2\] \[V(S) = 0 + 0.25 + 0.76 + 0.54 + 0.80 - 1.0201 = 1.3299\]

Prova Computacional (R):

Código 
# 1. Definir a matriz de probabilidade conjunta (linhas representam Y, colunas representam X)
P <- matrix(c(
    0.45, 0.15, 0.05, # Y = 0
    0.10, 0.12, 0.03, # Y = 1
    0.02, 0.03, 0.05 # Y = 2
), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)

# Vetores auxiliares de valores das variáveis
X_vals <- c(0, 1, 2)
Y_vals <- c(0, 1, 2)

# Distribuições marginais
P_X <- colSums(P)
P_Y <- rowSums(P)

# a) P(X >= 1, Y >= 1)
prob_conj <- sum(P[2:3, 2:3])

# b) P(X = 2 | Y = 1)
prob_cond <- P[2, 3] / P_Y[2]

# c) E[X | Y = 1]
P_X_given_Y1 <- P[2, ] / P_Y[2]
E_X_given_Y1 <- sum(X_vals * P_X_given_Y1)

# d) Covariância e Correlação
E_X <- sum(X_vals * P_X)
E_Y <- sum(Y_vals * P_Y)
Var_X <- sum((X_vals - E_X)^2 * P_X)
Var_Y <- sum((Y_vals - E_Y)^2 * P_Y)
E_XY <- sum(outer(Y_vals, X_vals, "*") * P)
Cov_XY <- E_XY - E_X * E_Y
Corr_XY <- Cov_XY / (sqrt(Var_X) * sqrt(Var_Y))

# e) Distribuição da soma S = X + Y
P_S <- numeric(5)
for (i in 1:3) {
    for (j in 1:3) {
        s <- X_vals[j] + Y_vals[i]
        P_S[s + 1] <- P_S[s + 1] + P[i, j]
    }
}
E_S <- sum(0:4 * P_S)
V_S <- sum((0:4 - E_S)^2 * P_S)

# Exibir resultados analíticos exatos calculados via R
cat("--- Resultados Analíticos via R ---\n")
cat(sprintf("P(X >= 1, Y >= 1): %.4f\n", prob_conj))
cat(sprintf("P(X = 2 | Y = 1): %.4f\n", prob_cond))
cat(sprintf("E[X | Y = 1]: %.4f\n", E_X_given_Y1))
cat(sprintf("Cov(X, Y): %.4f\n", Cov_XY))
cat(sprintf("Corr(X, Y): %.4f\n", Corr_XY))
cat(sprintf("E[S]: %.4f\n", E_S))
cat(sprintf("V(S): %.4f\n\n", V_S))

# --- Simulação de Monte Carlo ---
set.seed(42)
N <- 100000
# Vetorizar a matriz em ordem de linha
joint_probs_vector <- as.vector(t(P))
sampled_indices <- sample(1:9, size = N, replace = TRUE, prob = joint_probs_vector)

# Extrair os valores correspondentes de X e Y
X_sampled <- (sampled_indices - 1) %% 3
Y_sampled <- (sampled_indices - 1) %/% 3

# Resultados simulados
sim_prob_conj <- mean(X_sampled >= 1 & Y_sampled >= 1)
sim_prob_cond <- mean(X_sampled[Y_sampled == 1] == 2)
sim_E_X_given_Y1 <- mean(X_sampled[Y_sampled == 1])
sim_cov <- cov(X_sampled, Y_sampled) * (N - 1) / N # Covariância populacional
sim_corr <- cor(X_sampled, Y_sampled)
sim_E_S <- mean(X_sampled + Y_sampled)

cat("--- Resultados da Simulação (Monte Carlo) ---\n")
cat(sprintf("Sim P(X >= 1, Y >= 1): %.4f\n", sim_prob_conj))
cat(sprintf("Sim P(X = 2 | Y = 1): %.4f\n", sim_prob_cond))
cat(sprintf("Sim E[X | Y = 1]: %.4f\n", sim_E_X_given_Y1))
cat(sprintf("Sim Cov(X, Y): %.4f\n", sim_cov))
cat(sprintf("Sim Corr(X, Y): %.4f\n", sim_corr))
cat(sprintf("Sim E[S]: %.4f\n", sim_E_S))
--- Resultados Analíticos via R ---
P(X >= 1, Y >= 1): 0.2300
P(X = 2 | Y = 1): 0.1200
E[X | Y = 1]: 0.7200
Cov(X, Y): 0.1880
Corr(X, Y): 0.3949
E[S]: 1.0100
V(S): 1.3299

--- Resultados da Simulação (Monte Carlo) ---
Sim P(X >= 1, Y >= 1): 0.2304
Sim P(X = 2 | Y = 1): 0.1222
Sim E[X | Y = 1]: 0.7224
Sim Cov(X, Y): 0.1884
Sim Corr(X, Y): 0.3936
Sim E[S]: 1.0156