6 Modelos Teóricos Contínuos

Em muitos experimentos de engenharia e ciências aplicadas, as observações assumem valores em uma escala contínua.

Por exemplo:

o tempo de vida de um componente eletrônico,
a resistência à compressão do concreto,
a tolerância de uma peça usinada, ou
o tempo de resposta de um servidor.

Diferente das variáveis aleatórias discretas estudadas no módulo anterior, variáveis contínuas podem assumir infinitos valores reais em um intervalo. A matemática que modela seu comportamento requer o uso de cálculo, especificamente integração.

Para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de a variável assumir um valor exato (por exemplo, uma peça medir matematicamente exatos $10.0000\dots$ mm) é estritamente zero.

Na prática, lidamos com a probabilidade de a variável assumir um valor dentro de um intervalo (ex: entre $9.9$ e $10.1$ mm). O instrumento matemático para avaliar essa distribuição no espaço amostral contínuo é a Função Densidade de Probabilidade (FDP).

1 Função Densidade de Probabilidade (FDP) e Acumulada (FDA)

Uma função $f_X(x)$ é a função densidade de probabilidade (FDP) de uma variável aleatória contínua $X$ se a área total sob sua curva for igual a 1 e se for não-negativa para todo $x$. A probabilidade de $X$ pertencer ao intervalo $[a, b]$ é a área sob a curva neste intervalo:

\[ P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f_X(x) dx \]

A Função Distribuição Acumulada (FDA), denotada por $F_X(x)$, fornece a probabilidade acumulada até um determinado valor $x$:

\[ F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \]

O valor esperado e a variância para o caso contínuo são obtidos por integração em todo o domínio, ponderando-se os valores de $X$ pelas densidades $f_X(x)$:

\[ E[X] = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) dx\]

\[Var[X] = \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f_X(x) dx \]

Para entender o comportamento de uma variável aleatória contínua, é preciso conhecer seu comportamento, e para isso na prática podemos utilizar um histograma. O histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequência de uma variável aleatória contínua. Se considerarmos uma quantidade suficientemente grande de observações, o histograma se aproximará da função densidade de probabilidade.

Podemos observar alguns exemplos de variáveis aleatórias contínuas, com seus respectivos histogramas e funções densidade de probabilidade abaixo.

Iremos notar que muitas variáveis aleatórias contínuas apresentam comportamento similar, um certo padrão na sua forma. Esses padrões muitas vezes podem ser modelados matematicamente por funções, as quais são chamadas de funções densidade de probabilidade (FDP). A seguir serão explorados alguns desses modelos.

2 Distribuição Uniforme

Quando modelamos um fenômeno em que não há qualquer concentração de probabilidade, e todos os subintervalos de mesmo tamanho possuem a exata mesma chance de ocorrência, utilizamos o Modelo Uniforme Contínuo.

Modelo Uniforme Contínuo

Notação:

$X \sim U(a, b)$

Premissas do modelo:

A variável aleatória assume valores em um intervalo contínuo delimitado $[a, b]$.
A densidade de probabilidade é constante em todo o intervalo, indicando ausência de viés ou “picos” de frequência.

Variável aleatória generalizada:

$X$ = “Valor de uma medição com chance equitativa em um dado intervalo”

Função Densidade de Probabilidade (FDP):

\[f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{se } a \le x \le b \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases}\]

Valor Esperado e Variância

Valor Esperado:

\[E[X] = \frac{a+b}{2}\]

Variância:

\[Var[X] = \frac{(b-a)^2}{12}\]

2.0.1 Exemplo Dificuldade:

Um braço robótico em uma linha de montagem pega objetos em uma esteira transportadora. Devido a variações nos processos anteriores, os objetos chegam em tempos completamente aleatórios dentro de um ciclo de máquina de $10$ segundos. O sistema não tem preferência ou viés para nenhum momento específico. Qual é a probabilidade de um objeto chegar nos últimos $2$ segundos do ciclo, forçando o robô a acelerar sua rotina?

Solução:

Como o tempo de chegada é completamente aleatório (sem viés de horário) e delimitado no intervalo de $0$ a $10$ segundos, estamos lidando com um modelo Uniforme Contínuo, $X \sim U(0, 10)$.

Queremos encontrar a probabilidade do tempo de chegada $X$ estar entre $8$ e $10$ segundos. Usando a definição da FDP da distribuição uniforme:

\[ P(8 \le X \le 10) = \int_{8}^{10} \frac{1}{10 - 0} dx = \int_{8}^{10} 0.1 dx = 0.1 \times (10 - 8) = 0.2 \]

A probabilidade é de $0.2$, ou seja, $20\%$ de chance de ocorrer no final do ciclo.

3 Distribuição Exponencial

A distribuição exponencial está associada ao processo de Poisson, que descreve a ocorrência aleatória de eventos pontuais no tempo ou espaço. Vamos estudar primeiro o processo de Poisson para então apresentar a distribuição exponencial.

3.1 Processo de Poisson

Muitos fenômenos em engenharia e em outras áreas envolvem eventos que ocorrem ao longo de um substrato contínuo, como o tempo ou o espaço físico. Por exemplo, a ocorrência de falhas em um cabo de fibra ótica de 10 km, ou a chegada de requisições a um servidor web ao longo do dia.

Um Processo de Poisson descreve a ocorrência aleatória de eventos pontuais no tempo ou espaço sob premissas centrais:

Os eventos ocorrem independentemente uns dos outros.
A taxa média de ocorrência (eventos por unidade de tempo/espaço), simbolizada por $\lambda$, é constante.
Os eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo.

Enquanto a Distribuição de Poisson (estudada no módulo discreto) conta o número de eventos/sucessos (discreto) em um dado intervalo fixo, a Distribuição Exponencial mede a distância contínua ou tempo contínuo entre ocorrências sucessivas de um Processo de Poisson.

Vamos ilustrar esse processo utilizando a simulação abaixo. Onde teremos um processo de Poisson ocorrendo com uma dada taxa $\lambda$ e queremos observar as ocorrencias ao longo do tempo $t$ e registramos os tempos entre as ocorrencias consecutivas. Durante essa observação podemos avaliar como se comporta a distribuição dos tempos entre as ocorrencias.

O tempo entre as ocorrencias do processo de Poisson é uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição exponencial. Observe a simulação abaixo.

Modelo Exponencial

Notação:

$X \sim Exp(\lambda)$

Premissas do modelo:

Modela o intervalo contínuo (tempo ou espaço) até a ocorrência do primeiro evento de um Processo de Poisson.
Taxa de ocorrência $\lambda > 0$ é constante (ex: falhas por hora, defeitos por km).

Variável aleatória generalizada:

$X$ = “Tempo (ou distância) até a próxima ocorrência”

Função Densidade de Probabilidade (FDP) e FDA:

FDP: \[f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{se } x \ge 0 \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases}\]

FDA: \[F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0\]

Valor Esperado e Variância

Valor Esperado:

\[E[X] = \frac{1}{\lambda}\]

Variância:

\[Var[X] = \frac{1}{\lambda^2}\]

3.1.1 Exemplo Dificuldade:

A vida útil de uma lâmpada (em anos) é um $X \sim Exp(\lambda = 0.3)$. Qual é a probabilidade de a lâmpada durar entre 1 e 5 anos?

Solução:

Sabemos que $X \sim Exp(\lambda = 0.3)$. Queremos encontrar $P(1 \le X \le 5)$.

\[ P(1 \le X \le 5) = F(5) - F(1) = (1 - e^{-0.3 \times 5}) - (1 - e^{-0.3 \times 1}) = e^{-0.3} - e^{-1.5} \approx 0.7408 - 0.2231 = 0.5177 \]

3.1.2 Exemplo Dificuldade:

Em uma fábrica de telecomunicações, a produção de um cabo de fibra ótica está sujeita a pequenas microfissuras decorrentes do estiramento. Esses defeitos ocorrem independentemente ao longo do cabo a uma taxa constante de $\lambda = 0.5$ defeitos por quilômetro.

Qual a probabilidade de que um segmento contínuo de $3$ km deste cabo não possua nenhuma microfissura? E qual é a distância média observada entre defeitos?

Solução:

O espaço contínuo (distância) até encontrar a primeira microfissura obedece a uma distribuição exponencial com taxa $\lambda = 0.5$, denotado por $X \sim Exp(0.5)$.

Dizer que “um segmento de $3$ km não possui fissuras” é o mesmo que avaliar a probabilidade da distância até a primeira falha ser estritamente maior do que $3$ km. Isto é, $P(X > 3)$. Utilizando a Função de Distribuição Acumulada $F(x)$:

\[ P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) = 1 - F(3) \] \[ P(X > 3) = 1 - \left( 1 - e^{-0.5 \times 3} \right) = e^{-1.5} \approx 0.2231 \]

Há aproximadamente $22.31\%$ de chance do cabo passar intacto por esses $3$ km.

A distância média esperada entre defeitos é o Valor Esperado: \[ E[X] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0.5} = 2 \text{ km} \]

3.2 A Propriedade de Falta de Memória

A distribuição Exponencial é a única distribuição contínua que possui a propriedade da falta de memória (assim como a Geométrica é a única no caso discreto). Matematicamente, isso se escreve como:

\[ P(X > t + s \mid X > t) = P(X > s) \]

Interpretação na engenharia: Se um componente eletrônico que segue a distribuição exponencial já sobreviveu por $t$ horas, a probabilidade dele sobreviver por mais $s$ horas adicionais é exatamente a mesma que a de um componente recém saído da caixa sobreviver às suas primeiras $s$ horas. O componente “não lembra” do desgaste passado. Isto modela perfeitamente componentes eletrônicos (estado sólido) que falham puramente por picos de estresse aleatórios e não por fadiga mecânica ou fricção (que teriam memórias de desgaste cumulativo).

Se uma lâmpada LED tem uma vida útil modelada por uma distribuição exponencial com média de 50.000 horas, e ela já funcionou por 30.000 horas sem falhar, a probabilidade de ela falhar nas próximas 1.000 horas é a mesma que a de uma lâmpada nova falhar nas primeiras 1.000 horas. A partir de agora, para todos os efeitos de probabilidade de falha futura, a lâmpada está “como nova”. Ou seja, é um problema na aplicação do modelo, pois na realidade, uma lâmpada que já funcionou por 30.000 horas tem uma probabilidade de falhar nas próximas 1.000 horas maior do que a de uma lâmpada nova. No entanto, essa propriedade é muito útil em outras aplicações, pois ela simplifica muito os cálculos, como na engenharia de telecomunicações e na física de partículas.

3.2.1 Exemplo Dificuldade:

Um exemplo do resultado da propriedade de falta de memória da distribuição exponencial é o seguinte:

Seja $E[X] = 50.000$ horas a vida média de uma lâmpada LED. Então, $\lambda = 1/50000$. Se a lâmpada já funcionou por 30.000 horas, então, considere $t = 30000$ e $s = 1000$. Assim, temos em mão uma probabilidade condicionada sobre um evento que ocorreu.

\[ \begin{aligned} P(X > t + s \mid X > t) &= \frac{P(X > t+s \cap X > t)}{P(X > t)} \\ &= \frac{P(X > t+s)}{P(X > t)} \\ &= \frac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}} \\ &= e^{-\lambda s} \\ &= P(X > s) \end{aligned} \]

Logo percebemos que a propriedade da falta de memória da distribuição exponencial é que a probabilidade de falha futura é independente do tempo de funcionamento, o que para determinados casos não é o mais correto, como no exemplo. A distrbuição exponencial é adequanda para monitorar falhas aleatórias, relacionadas ao tempo de vida do componente, desde que monitorado de forma contínua ao longo de um período de tempo.

Aplicando ao exemplo:

\[ \begin{aligned} P(X > 30000 + 1000 \mid X > 30000) &= P(X > 1000) \\ &= e^{-1000/50000} \\ &= e^{-0.02} \\ &\approx 0.9802 \end{aligned} \]

4 Distribuição Normal (Gaussiana)

A Distribuição Normal é a espinha dorsal estatística do controle de qualidade e engenharia de confiabilidade. O Teorema Central do Limite determina que quando uma variável (ex: erro de usinagem, resistência final de um pilar) é o resultado da soma de múltiplos fatores independentes (temperatura de cura, umidade, vibração do motor, impurezas no agregado), essa variável convergirá naturalmente para o padrão em sino da distribuição Normal.

Modelo Normal

Notação:

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$

Premissas do modelo:

Processos cujos resultados são afetados por um grande número de perturbações aleatórias aditivas e independentes.
A distribuição é perfeitamente simétrica ao redor do seu centro $\mu$.

Variável aleatória generalizada:

$X$ = “Magnitude de uma propriedade gerada pela soma de múltiplos efeitos”

Função Densidade de Probabilidade (FDP):

\[f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\] para $-\infty < x < \infty$.

Valor Esperado e Variância

Valor Esperado:

\[E[X] = \mu\]

Variância:

\[Var[X] = \sigma^2\]

4.1 Distribuição Normal Padrão ($Z$)

Como a FDP da Normal não possui uma primitiva analítica fechada simples, calcular integrais diretamente seria uma tarefa computacionalmente custosa. A solução na engenharia pré-computadores foi tabular as probabilidades de uma única curva normal específica e transpor qualquer problema físico para essa curva de referência.

Essa curva de referência é a Distribuição Normal Padrão, geralmente denotada por $Z$, com $\mu = 0$ e $\sigma^2 = 1$, ou seja, $Z \sim N(0, 1)$.

Para transformar qualquer variável $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ para a escala de $Z$, subtrai-se a média física e divide-se pelo desvio padrão:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

O valor numérico de $Z$ tem um significado tangível direto: é o número exato de desvios padrões que um evento se encontra afastado da média.

4.1.1 Exemplo Dificuldade:

A resistência à compressão uniaxial de cilindros de concreto de um determinado lote segue distribuição normal com média robusta $\mu = 30$ MPa e desvio padrão $\sigma = 2$ MPa. Para a aprovação estrutural em obra, a norma exige que o pilar suporte tensões operacionais.

Qual a probabilidade de um cilindro sorteado aleatoriamente para o teste de campo acusar uma resistência inferior ao limite crítico estrutural de $26$ MPa?

Solução:

Temos a variável física $X \sim N(30, 2^2)$. Deseja-se avaliar $P(X < 26)$. Vamos transferir este problema da dimensão “MPa” para a dimensão adimensional “Z”:

\[ P(X < 26) = P\left( \frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{26 - 30}{2} \right) = P(Z < -2) \]

O valor $Z = -2$ nos diz que o limite crítico está a exatos $2$ desvios padrões abaixo da média da usina. Consultando softwares, funções do R (pnorm(-2)) ou tabelas clássicas:

\[ P(Z < -2) \approx 0.0228 \]

Há um risco de $2.28\%$ da amostra falhar no limite estrutural especificado.

--- title: "Modelos Teóricos Contínuos" format: html crossref: custom: - kind: float reference-prefix: Exemplo key: ex --- ```{r} #| warning: false #| echo: false source("../../functions.R") ``` Em muitos experimentos de engenharia e ciências aplicadas, as observações assumem valores em uma escala contínua. Por exemplo: - o tempo de vida de um componente eletrônico, - a resistência à compressão do concreto, - a tolerância de uma peça usinada, ou - o tempo de resposta de um servidor. Diferente das variáveis aleatórias discretas estudadas no módulo anterior, variáveis contínuas podem assumir infinitos valores reais em um intervalo. A matemática que modela seu comportamento requer o uso de cálculo, especificamente integração. Para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de a variável assumir um valor exato (por exemplo, uma peça medir matematicamente exatos $10.0000\dots$ mm) é estritamente zero. Na prática, lidamos com a probabilidade de a variável assumir um valor dentro de um *intervalo* (ex: entre $9.9$ e $10.1$ mm). O instrumento matemático para avaliar essa distribuição no espaço amostral contínuo é a Função Densidade de Probabilidade (FDP). ## Função Densidade de Probabilidade (FDP) e Acumulada (FDA) Uma função $f_X(x)$ é a **função densidade de probabilidade (FDP)** de uma variável aleatória contínua $X$ se a área total sob sua curva for igual a **1** e se for **não-negativa** para todo $x$. A probabilidade de $X$ pertencer ao intervalo $[a, b]$ é a área sob a curva neste intervalo: $$ P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f_X(x) dx $$ A **Função Distribuição Acumulada (FDA)**, denotada por $F_X(x)$, fornece a probabilidade acumulada até um determinado valor $x$: $$ F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt $$ O valor esperado e a variância para o caso contínuo são obtidos por integração em todo o domínio, ponderando-se os valores de $X$ pelas densidades $f_X(x)$: $$ E[X] = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) dx$$ $$Var[X] = \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f_X(x) dx $$ Para entender o comportamento de uma variável aleatória contínua, é preciso conhecer seu comportamento, e para isso na prática podemos utilizar um histograma. O **histograma** é uma representação gráfica da distribuição de frequência de uma variável aleatória contínua. Se considerarmos uma quantidade suficientemente grande de observações, o histograma se aproximará da função densidade de probabilidade. Podemos observar alguns exemplos de variáveis aleatórias contínuas, com seus respectivos histogramas e funções densidade de probabilidade abaixo. ```{r} #| warning: false #| echo: false library(tidyverse) library(dslabs) data(heights) # https://rafalab.dfci.harvard.edu/dslivro/distributions.html#other-geometries ``` Iremos notar que muitas variáveis aleatórias contínuas apresentam comportamento similar, um certo padrão na sua forma. Esses padrões muitas vezes podem ser modelados matematicamente por funções, as quais são chamadas de funções densidade de probabilidade (FDP). A seguir serão explorados alguns desses modelos. ## Distribuição Uniforme Quando modelamos um fenômeno em que não há qualquer concentração de probabilidade, e todos os subintervalos de mesmo tamanho possuem a exata mesma chance de ocorrência, utilizamos o Modelo Uniforme Contínuo. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Modelo Uniforme Contínuo ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Notação:** $X \sim U(a, b)$ **Premissas do modelo:** 1. A variável aleatória assume valores em um intervalo contínuo delimitado $[a, b]$. 2. A densidade de probabilidade é constante em todo o intervalo, indicando ausência de viés ou "picos" de frequência. **Variável aleatória generalizada:** $X$ = "Valor de uma medição com chance equitativa em um dado intervalo" **Função Densidade de Probabilidade (FDP):** $$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{se } a \le x \le b \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases}$$ ::: ::: ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Valor Esperado e Variância ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Valor Esperado:** $$E[X] = \frac{a+b}{2}$$ **Variância:** $$Var[X] = \frac{(b-a)^2}{12}$$ ::: ::: ::: {.exemplo icon="false"} #### Exemplo `r dif(1)` Um braço robótico em uma linha de montagem pega objetos em uma esteira transportadora. Devido a variações nos processos anteriores, os objetos chegam em tempos completamente aleatórios dentro de um ciclo de máquina de $10$ segundos. O sistema não tem preferência ou viés para nenhum momento específico. Qual é a probabilidade de um objeto chegar nos últimos $2$ segundos do ciclo, forçando o robô a acelerar sua rotina? *** **Solução:** Como o tempo de chegada é completamente aleatório (sem viés de horário) e delimitado no intervalo de $0$ a $10$ segundos, estamos lidando com um modelo Uniforme Contínuo, $X \sim U(0, 10)$. Queremos encontrar a probabilidade do tempo de chegada $X$ estar entre $8$ e $10$ segundos. Usando a definição da FDP da distribuição uniforme: $$ P(8 \le X \le 10) = \int_{8}^{10} \frac{1}{10 - 0} dx = \int_{8}^{10} 0.1 dx = 0.1 \times (10 - 8) = 0.2 $$ A probabilidade é de $0.2$, ou seja, $20\%$ de chance de ocorrer no final do ciclo. ::: ## Distribuição Exponencial A distribuição exponencial está associada ao processo de Poisson, que descreve a ocorrência aleatória de eventos pontuais no tempo ou espaço. Vamos estudar primeiro o processo de Poisson para então apresentar a distribuição exponencial. ### Processo de Poisson Muitos fenômenos em engenharia e em outras áreas envolvem eventos que ocorrem ao longo de um substrato contínuo, como o tempo ou o espaço físico. Por exemplo, a ocorrência de falhas em um cabo de fibra ótica de 10 km, ou a chegada de requisições a um servidor web ao longo do dia. Um **Processo de Poisson** descreve a ocorrência aleatória de eventos pontuais no tempo ou espaço sob premissas centrais: 1. Os eventos ocorrem independentemente uns dos outros. 2. A taxa média de ocorrência (eventos por unidade de tempo/espaço), simbolizada por $\lambda$, é constante. 3. Os eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo. Enquanto a **Distribuição de Poisson** (estudada no módulo discreto) conta o **número de eventos/sucessos** (discreto) em um dado intervalo fixo, a **Distribuição Exponencial** mede a **distância contínua ou tempo contínuo** *entre* ocorrências sucessivas de um Processo de Poisson. Vamos ilustrar esse processo utilizando a simulação abaixo. Onde teremos um **processo de Poisson** ocorrendo com uma dada taxa $\lambda$ e queremos observar as ocorrencias ao longo do tempo $t$ e registramos os tempos entre as ocorrencias consecutivas. Durante essa observação podemos avaliar como se comporta a distribuição dos tempos entre as ocorrencias. O tempo entre as ocorrencias do processo de Poisson é uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição exponencial. Observe a simulação abaixo. <iframe src="apps/processo_poisson.html" width="100%" height="1000px" style="border:none;"></iframe> ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Modelo Exponencial ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Notação:** $X \sim Exp(\lambda)$ **Premissas do modelo:** 1. Modela o intervalo contínuo (tempo ou espaço) até a ocorrência do primeiro evento de um Processo de Poisson. 2. Taxa de ocorrência $\lambda > 0$ é constante (ex: falhas por hora, defeitos por km). **Variável aleatória generalizada:** $X$ = "Tempo (ou distância) até a próxima ocorrência" **Função Densidade de Probabilidade (FDP) e FDA:** FDP: $$f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{se } x \ge 0 \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases}$$ FDA: $$F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0$$ ::: ::: ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Valor Esperado e Variância ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Valor Esperado:** $$E[X] = \frac{1}{\lambda}$$ **Variância:** $$Var[X] = \frac{1}{\lambda^2}$$ ::: ::: <iframe src="apps/exponencial.html" width="100%" height="1100px" style="border:none;"></iframe> ::: {.exemplo icon="false"} #### Exemplo `r dif(1)` A vida útil de uma lâmpada (em anos) é um $X \sim Exp(\lambda = 0.3)$. Qual é a probabilidade de a lâmpada durar entre 1 e 5 anos? *** **Solução:** Sabemos que $X \sim Exp(\lambda = 0.3)$. Queremos encontrar $P(1 \le X \le 5)$. $$ P(1 \le X \le 5) = F(5) - F(1) = (1 - e^{-0.3 \times 5}) - (1 - e^{-0.3 \times 1}) = e^{-0.3} - e^{-1.5} \approx 0.7408 - 0.2231 = 0.5177 $$ ::: ::: {.exemplo icon="false"} #### Exemplo `r dif(2)` Em uma fábrica de telecomunicações, a produção de um cabo de fibra ótica está sujeita a pequenas microfissuras decorrentes do estiramento. Esses defeitos ocorrem independentemente ao longo do cabo a uma taxa constante de $\lambda = 0.5$ defeitos por quilômetro. Qual a probabilidade de que um segmento contínuo de $3$ km deste cabo não possua nenhuma microfissura? E qual é a distância média observada entre defeitos? *** **Solução:** O espaço contínuo (distância) até encontrar a primeira microfissura obedece a uma distribuição exponencial com taxa $\lambda = 0.5$, denotado por $X \sim Exp(0.5)$. Dizer que "um segmento de $3$ km não possui fissuras" é o mesmo que avaliar a probabilidade da distância até a primeira falha ser estritamente *maior* do que $3$ km. Isto é, $P(X > 3)$. Utilizando a Função de Distribuição Acumulada $F(x)$: $$ P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) = 1 - F(3) $$ $$ P(X > 3) = 1 - \left( 1 - e^{-0.5 \times 3} \right) = e^{-1.5} \approx 0.2231 $$ Há aproximadamente $22.31\%$ de chance do cabo passar intacto por esses $3$ km. A distância média esperada entre defeitos é o Valor Esperado: $$ E[X] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0.5} = 2 \text{ km} $$ ::: ### A Propriedade de Falta de Memória A distribuição Exponencial é a **única** distribuição contínua que possui a propriedade da falta de memória (assim como a Geométrica é a única no caso discreto). Matematicamente, isso se escreve como: $$ P(X > t + s \mid X > t) = P(X > s) $$ **Interpretação na engenharia:** Se um componente eletrônico que segue a distribuição exponencial já sobreviveu por $t$ horas, a probabilidade dele sobreviver por mais $s$ horas adicionais é **exatamente a mesma** que a de um componente recém saído da caixa sobreviver às suas primeiras $s$ horas. O componente "não lembra" do desgaste passado. Isto modela perfeitamente componentes eletrônicos (estado sólido) que falham puramente por picos de estresse aleatórios e não por fadiga mecânica ou fricção (que teriam memórias de desgaste cumulativo). Se uma lâmpada LED tem uma vida útil modelada por uma distribuição exponencial com média de 50.000 horas, e ela já funcionou por 30.000 horas sem falhar, a probabilidade de ela falhar nas próximas 1.000 horas é a mesma que a de uma lâmpada nova falhar nas primeiras 1.000 horas. A partir de agora, para todos os efeitos de probabilidade de falha futura, a lâmpada está "como nova". Ou seja, é um problema na aplicação do modelo, pois na realidade, uma lâmpada que já funcionou por 30.000 horas tem uma probabilidade de falhar nas próximas 1.000 horas maior do que a de uma lâmpada nova. No entanto, essa propriedade é muito útil em outras aplicações, pois ela simplifica muito os cálculos, como na engenharia de telecomunicações e na física de partículas. ::: {.exemplo icon="false"} #### Exemplo `r dif(2)` Um exemplo do resultado da propriedade de **falta de memória** da distribuição exponencial é o seguinte: Seja $E[X] = 50.000$ horas a vida média de uma lâmpada LED. Então, $\lambda = 1/50000$. Se a lâmpada já funcionou por 30.000 horas, então, considere $t = 30000$ e $s = 1000$. Assim, temos em mão uma probabilidade condicionada sobre um evento que ocorreu. $$ \begin{aligned} P(X > t + s \mid X > t) &= \frac{P(X > t+s \cap X > t)}{P(X > t)} \\ &= \frac{P(X > t+s)}{P(X > t)} \\ &= \frac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}} \\ &= e^{-\lambda s} \\ &= P(X > s) \end{aligned} $$ Logo percebemos que a propriedade da falta de memória da distribuição exponencial é que a probabilidade de falha futura é independente do tempo de funcionamento, o que para determinados casos não é o mais correto, como no exemplo. A distrbuição exponencial é adequanda para monitorar falhas aleatórias, relacionadas ao tempo de vida do componente, desde que monitorado de forma contínua ao longo de um período de tempo. Aplicando ao exemplo: $$ \begin{aligned} P(X > 30000 + 1000 \mid X > 30000) &= P(X > 1000) \\ &= e^{-1000/50000} \\ &= e^{-0.02} \\ &\approx 0.9802 \end{aligned} $$ ::: ## Distribuição Normal (Gaussiana) A Distribuição Normal é a espinha dorsal estatística do controle de qualidade e engenharia de confiabilidade. O Teorema Central do Limite determina que quando uma variável (ex: erro de usinagem, resistência final de um pilar) é o resultado da soma de múltiplos fatores independentes (temperatura de cura, umidade, vibração do motor, impurezas no agregado), essa variável convergirá naturalmente para o padrão em sino da distribuição Normal. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Modelo Normal ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Notação:** $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ **Premissas do modelo:** 1. Processos cujos resultados são afetados por um grande número de perturbações aleatórias aditivas e independentes. 2. A distribuição é perfeitamente simétrica ao redor do seu centro $\mu$. **Variável aleatória generalizada:** $X$ = "Magnitude de uma propriedade gerada pela soma de múltiplos efeitos" **Função Densidade de Probabilidade (FDP):** $$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$ para $-\infty < x < \infty$. ::: ::: ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Valor Esperado e Variância ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Valor Esperado:** $$E[X] = \mu$$ **Variância:** $$Var[X] = \sigma^2$$ ::: ::: ### Distribuição Normal Padrão ($Z$) Como a FDP da Normal não possui uma primitiva analítica fechada simples, calcular integrais diretamente seria uma tarefa computacionalmente custosa. A solução na engenharia pré-computadores foi tabular as probabilidades de uma única curva normal específica e transpor qualquer problema físico para essa curva de referência. Essa curva de referência é a **Distribuição Normal Padrão**, geralmente denotada por $Z$, com $\mu = 0$ e $\sigma^2 = 1$, ou seja, $Z \sim N(0, 1)$. Para transformar qualquer variável $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ para a escala de $Z$, subtrai-se a média física e divide-se pelo desvio padrão: $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$ O valor numérico de $Z$ tem um significado tangível direto: é o número exato de desvios padrões que um evento se encontra afastado da média. ::: {.exemplo icon="false"} #### Exemplo `r dif(2)` A resistência à compressão uniaxial de cilindros de concreto de um determinado lote segue distribuição normal com média robusta $\mu = 30$ MPa e desvio padrão $\sigma = 2$ MPa. Para a aprovação estrutural em obra, a norma exige que o pilar suporte tensões operacionais. Qual a probabilidade de um cilindro sorteado aleatoriamente para o teste de campo acusar uma resistência inferior ao limite crítico estrutural de $26$ MPa? *** **Solução:** Temos a variável física $X \sim N(30, 2^2)$. Deseja-se avaliar $P(X < 26)$. Vamos transferir este problema da dimensão "MPa" para a dimensão adimensional "Z": $$ P(X < 26) = P\left( \frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{26 - 30}{2} \right) = P(Z < -2) $$ O valor $Z = -2$ nos diz que o limite crítico está a exatos $2$ desvios padrões abaixo da média da usina. Consultando softwares, funções do R (`pnorm(-2)`) ou tabelas clássicas: $$ P(Z < -2) \approx 0.0228 $$ Há um risco de $2.28\%$ da amostra falhar no limite estrutural especificado. :::

1 Função Densidade de Probabilidade (FDP) e Acumulada (FDA)

2 Distribuição Uniforme

3 Distribuição Exponencial

3.1 Processo de Poisson

3.2 A Propriedade de Falta de Memória

4 Distribuição Normal (Gaussiana)

4.1 Distribuição Normal Padrão (\(Z\))