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title: "Variável Aleatória"
format: html
engine: knitr
---
Uma vez que os conceitos fundamentais (Espaço Amostral, Eventos e Axiomas) estão definidos, o próximo passo na modelagem probabilística é associar resultados de experimentos a valores numéricos tratáveis algebricamente.
## O Problema
Considere o projeto de um elevador. O engenheiro não precisa saber se o próximo usuário será "alto", "magro" ou "estudante". Para o cálculo, importa apenas um valor numérico: **o peso do usuário (em kg)**. O peso de uma pessoa escolhida ao acaso em um prédio é uma variável que assume valores resultantes de um processo não determinístico.
Precisamos de uma ferramenta matemática para quantificar como esse fluxo contínuo de resultados do espaço amostral se traduz na massa que atua sob os cabos do elevador. Esta conversão precisa é sistematizada no arcabouço denominado **Variável Aleatória**.
::: callout-tip
## Caso: Citibank
Citibank, a divisão de varejo do Citigroup, oferece uma ampla gama de serviços financeiros, incluindo contas correntes e poupança, empréstimos e hipotecas, seguros e serviços de investimento. Ele entrega esses serviços através de um sistema único referido como Citibanking. Citibank foi um dos primeiros bancos nos Estados Unidos a introduzir caixas eletrônicos (ATMs). Os ATMs do Citibank, localizados em Citicard Banking Centers (CBCs), permitem que os clientes façam todos os seus serviços bancários em um só lugar, 24 horas por dia, 7 dias por semana. Mais de 150 funções bancárias diferentes, de depósitos a gerenciamento de investimentos, podem ser realizadas com facilidade. Os clientes do Citibank usam ATMs para 80% de suas transações.
{width="35%"}
Cada CBC do Citibank opera como um sistema de fila de espera com clientes chegando aleatoriamente buscando serviço em um dos ATMs. Se todos os ATMs estiverem ocupados, os clientes que chegam esperam na fila. Estudos periódicos de capacidade de CBC são usados para analisar os tempos de espera dos clientes e determinar se ATMs adicionais são necessários.
Os dados coletados pelo Citibank mostraram que as chegadas aleatórias de clientes seguiram uma distribuição de probabilidade conhecida como **distribuição de Poisson**. Usando a distribuição de Poisson, o Citibank pode calcular probabilidades para o número de clientes chegando a um CBC durante qualquer período de tempo e tomar decisões relativas ao número de ATMs necessários. Por exemplo, seja $x$ *o número de clientes chegando durante um período de um minuto*. Assumindo que um CBC particular tem uma taxa média de chegada de dois clientes por minuto, a seguinte tabela mostra as probabilidades para o número de clientes chegando durante um período de um minuto.
::: {#tbl-sua-tabela .w-50 .mx-auto}
$x$ | Probabilidade
--|--
0 | .1353
1 | .2707
2 | .2707
3 | .1804
4 | .0902
5 ou mais | .0527
Tabela de probabilidades de chegada de clientes ao Citibank.
:::
Distribuições de probabilidade discretas, como a usada pelo Citibank, é um dos tópicos do **módulo 1**. Além da distribuição de Poisson, você aprenderá sobre as **distribuições uniforme, binomial, geométrica, binomial negativa (Pascal) e hipergeométrica** e como elas podem ser usadas para fornecer informações úteis de probabilidade.
:::
## Variável Aleatória
Uma **Variável Aleatória (V.A.)**, frequentemente denotada por letras maiúsculas ($X, Y, Z$), é uma função que mapeia cada resultado ($\omega_i$) do espaço amostral $\Omega$ a um número real ($x$), $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$.
```{tikz}
%| label: fig-mapeamento-va
%| fig-cap: "Ilustração do mapeamento do Espaço Amostral $\\Omega$ para a reta dos números reais $\\mathbb{R}$ através de uma Variável Aleatória $X$."
%| echo: false
%| fig-align: center
\usetikzlibrary{arrows.meta, positioning}
\definecolor{myGold}{HTML}{D4A337}
\definecolor{myOrange}{HTML}{E25A24}
\begin{tikzpicture}[
>=Stealth,
node distance=1.5cm,
font=\sffamily,
omega/.style={draw=myGold!60, fill=myGold!5, thick, rounded corners=10pt, minimum width=3.5cm, minimum height=3cm},
elemento/.style={font=\small},
seta/.style={->, thick, color=myOrange!70, shorten >=2pt}
]
% Espaço Amostral O
\node[omega] (S) at (0, 3) {};
\node[font=\tiny\bfseries, color=myGold!80!black] at (0, 4.2) {Espaço Amostral ($\Omega$)};
% Elementos (Resultados)
\node[elemento] (e1) at (-0.8, 3.5) {$\omega_1$};
\node[elemento] (e2) at (0.8, 3.2) {$\omega_2$};
\node[elemento] (e3) at (-0.5, 2.5) {$\omega_3$};
\node[elemento] (e4) at (0.6, 2.0) {$\omega_4$};
% Reta Real
\draw[->, very thick] (-3, 0) -- (4, 0) node[right, font=\large] {$\mathbf{R}$};
\node[left, text width=3em, text centered, font=\bfseries] (arrowstart) at (-4,0)
{valores de $X$};
%\node[below=0.6cm, font=\bfseries] at (0.5, 0) {Reta dos Reais};
% Marcações na reta
\coordinate (x1) at (-1.5, 0);
\coordinate (x2) at (0.5, 0);
\coordinate (x3) at (2.5, 0);
\fill[black] (x1) circle (2.5pt) node[below=0.15cm] {$x_1$};
\fill[black] (x2) circle (2.5pt) node[below=0.15cm] {$x_2$};
\fill[black] (x3) circle (2.5pt) node[below=0.15cm] {$x_3$};
% Rotulos X
%\node[fill=white, inner sep=1pt, color=myOrange!80!black] at (-1.5, 1.5) {$X(\omega_1)$};
%\node[fill=white, inner sep=1pt, color=myOrange!80!black] at (2.0, 1.2) {$X(\omega_4)$};
% Mapeamentos
\draw[seta] (e1) to[bend right=15] (x1);
\draw[seta] (e2) to[bend left=10] (x2);
\draw[seta] (e3) to[bend right=5] (x2);
\draw[seta] (e4) to[bend left=15] (x3);
\end{tikzpicture}
```
::: {.callout-important icon="false"}
## Variável Aleatória
Uma **variável aleatória** é uma função que associa um **valor numérico** a cada **resultado** de um **experimento aleatório**.
* Notação: $X$ é a variável aleatória (descrição), $x$ é um valor possível da variável aleatória.
:::
Uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado experimental possível. O valor numérico particular da variável aleatória depende do resultado do experimento. Uma variável aleatória pode ser classificada como **discreta** ou **contínua** dependendo dos valores numéricos que assume.
Assim, podemos classificar esse mapeamento em dois tipos principais, valores discretos ou contínuos:
* **Variável Aleatória Discreta:** Assume um conjunto contável de valores (ex: *Número de falhas em uma placa eletrônica*, $X \in \{0, 1, 2, \dots\}$).
* **Variável Aleatória Contínua:** Assume valores em um intervalo contínuo (ex: *Tempo de resposta de um servidor em ms*, $X > 0$).
### Variável Aleatória Discreta
Uma variável aleatória que pode assumir um número finito de valores ou uma sequência infinita de valores, como $0, 1, 2, . . .$ é chamada de variável aleatória discreta.
Por exemplo, considere o experimento de um candidato fazendo uma prova. A prova tem quatro partes. Podemos definir uma variável aleatória como $X$, o *número de partes da prova aprovadas*. É uma variável aleatória discreta porque pode assumir o número finito de valores $0, 1, 2, 3$ ou $4$.
::: {.callout-important appearance="minimal"}
## Variável Aleatória Discreta
Uma variável aleatória discreta assume um número contável de possíveis valores (conjunto finito ou infinito contável). Os resultados podem ser interpretados como aqueles que são frutos de contagem.
:::
Como outro exemplo de variável aleatória discreta, considere o experimento de carros chegando a uma cabine de pedágio. A variável aleatória de interesse é $X$, o *número de carros chegando durante um período de um dia*. Os valores possíveis para $X$ vêm da sequência de inteiros $0, 1, 2,$ e assim por diante. Assim, $X$ é uma variável aleatória discreta assumindo um dos valores desta sequência infinita.
Embora os resultados de muitos experimentos possam ser naturalmente descritos por valores numéricos, outros não podem. Por exemplo, uma pergunta de pesquisa pode pedir a um indivíduo para se lembrar da mensagem em um comercial de televisão recente. Este experimento teria dois resultados possíveis: o indivíduo não consegue se lembrar da mensagem e o indivíduo consegue se lembrar da mensagem. Ainda podemos descrever esses resultados experimentais numericamente definindo a variável aleatória discreta $X$ da seguinte forma: seja $X = 0$ se o indivíduo não se lembrar da mensagem e $X = 1$ se o indivíduo se lembrar da mensagem. Os valores numéricos para esta variável aleatória são arbitrários (poderíamos usar 5 e 10), mas são aceitáveis em termos da definição de uma variável aleatória, ou seja, $X$ é uma variável aleatória porque fornece uma descrição numérica do resultado do experimento.
No bloco abaixo alguns exemplos adicionais de variáveis aleatórias discretas. Note que em cada exemplo a variável aleatória discreta assume um número finito de valores ou uma sequência infinita de valores como $0, 1, 2, \dots$. Esses tipos de variáveis aleatórias discretas são discutidos em detalhes na seção Variaveis Aleatorias Discretas.
Note que o experimento aleatório pode trazer inúmeras variáveis aleatórias associadas.
::: {.exemplo icon="false"}
#### Exemplos
* $\mathcal{E}$: Contatar cinco clientes
* $X =$ "Número de clientes que fazem um pedido".
* Valores possíveis para $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
---
* $\mathcal{E}$: Inspecionar um lote de 50 rádios...
* $X =$ "Número de rádios com defeito".
* Valores possíveis para $X = \{0, 1, 2, \dots, 49, 50\}$
---
* $\mathcal{E}$: Operar um restaurante por um dia
* $X =$ "Número de clientes".
* Valores possíveis para $X = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$
---
* $\mathcal{E}$: Vender um automóvel
* $X =$ "Gênero do cliente".
* Valores possíveis para $X = \{0, 1\}$
:::
::: {.callout-note appearance="minimal"}
## Notação: Variável Aleatória Discreta
Seja $X$ uma Variável Aleatória Discreta (V.A.D). Os valores que $X$ pode assumir são denotados por $x_1, x_2, x_3, \dots$.
---
**Função Massa de Probabilidade (FMP)**, é uma função que indica a **probabilidade** de cada valor possível da variável aleatória discreta, é denotada por $p_X(x)$.
$$p_X(x) = P(X = x)$$
Sendo $p_X(x) = P(X = x)$ a probabilidade de a variável aleatória $X$ assumir o valor numérico $x$.
**Exemplo:**
Suponha que visitemos a livraria de uma universidade durante a primeira semana de aulas, e observemos se a
próxima pessoa irá comprar um livro (apenas um livro) ou não. Seja, $X$ a variável aleatória que representa o número de livros comprados pela pessoa, dentre um livro escolhido.
$$X = \begin{cases} 1 & \text{se o cliente comprar um livro} \\ 0 & \text{se o cliente não comprar um livro} \end{cases}$$
Se 20% de todos os compradores durante aquela semana selecionarem um livro, a FMP de $X$ será
$$p(0) = P(X = 0) = P(\text{próximo cliente compra um livro}) = 0.8$$
$$p(1) = P(X = 1) = P(\text{próximo cliente compra um laptop}) = 0.2$$
$$p(x) = P(X = x) = 0 \text{ para } x \neq 0 \text{ ou } 1$$
Uma descrição equivalente é
$$p(x) = \begin{cases} 0.8 & \text{se } x = 0 \\ 0.2 & \text{se } x = 1 \\ 0.0 & \text{se } x \neq 0 \text{ ou } 1 \end{cases}$$
---
**Distribuição de Probabilidade**, é uma representação da função massa de probabilidade (FMP) em tabela, gráfico ou fórmula que lista todos os valores possíveis de uma variável aleatória discreta e suas respectivas probabilidades.
A Figura @fig-fmp-exemplo é uma ilustração dessa FMP, denominada **distribuição de probabilidade**.
```{r}
#| echo: false
#| warning: false
library(ggplot2)
# 1. Definindo as cores da sua paleta
paleta_livro <- list(
fundo = "#F7F7F9",
texto = "#0D1121",
dourado = "#D4A337",
laranja = "#E25A24",
azul = "#1E90FF",
roxo = "#8A2BE2"
)
plot_probabilidade <- function(x, y,
titulo_x = "Valores de x",
titulo_y = expression(paste("Probabilidade ", ~ p[X](x))),
mostrar_valores = TRUE, # Opção para ligar/desligar os textos
cor_principal = paleta_livro$dourado, # Dourado do livro
cor_secundaria = paleta_livro$dourado, # Laranja do livro
cor_barra = paleta_livro$dourado,
cor_fundo = paleta_livro$fundo,
cor_texto = paleta_livro$texto,
transparencia_coluna = 0.1) { # Azul noturno
dados <- data.frame(x = x, y = y)
x_min <- min(dados$x)
x_max <- max(dados$x)
lim_esq <- x_min - 0.5
lim_dir <- x_max + 0.5
# Se formos mostrar os valores, precisamos de um limite Y um pouco maior
# para o texto não ser cortado no topo do gráfico
fator_topo <- ifelse(mostrar_valores, 1.25, 1.15)
lim_topo_y <- max(dados$y) * fator_topo
# Função para formatar os valores (ex: 0.24 vira .24)
formata_valores <- function(valores) {
valores[is.na(valores)] <- 0
sub("^0\\.", ".", sprintf("%.2f", valores))
}
# 1. Construção do gráfico base
p <- ggplot(dados, aes(x = x, y = y)) +
# Fundo transparente
geom_col(width = 1, fill = cor_principal, alpha = transparencia_coluna) +
# Agulhas e Pontos
geom_segment(aes(xend = x, y = 0, yend = y), color = cor_secundaria, linewidth = 1.5) +
geom_point(color = cor_secundaria, size = 3) +
# Ajuste dos eixos
scale_x_continuous(
breaks = seq(x_min, x_max, by = 1),
limits = c(lim_esq, lim_dir),
expand = c(0, 0)
) +
scale_y_continuous(
limits = c(0, lim_topo_y),
labels = formata_valores,
expand = c(0, 0)
) +
labs(x = titulo_x, y = titulo_y) +
# Tema com a identidade visual da capa do livro
theme_minimal() +
theme(
plot.background = element_rect(fill = cor_fundo, color = NA),
panel.background = element_rect(fill = cor_fundo, color = NA),
panel.grid.major.y = element_line(color = "white", linewidth = 0.5), # Linhas de grade sutis
panel.grid.minor = element_blank(),
panel.grid.major.x = element_blank(),
text = element_text(color = cor_texto),
axis.text = element_text(color = cor_texto, size = 11, face = "bold"),
axis.title = element_text(color = cor_texto, size = 12, face = "bold", margin = margin(t = 10, r = 10)),
axis.line = element_line(color = cor_texto, linewidth = 0.8),
axis.ticks = element_line(color = cor_texto, linewidth = 0.8),
axis.ticks.length = unit(0.2, "cm"),
plot.margin = margin(20, 20, 20, 20)
)
# 2. Adicionando os valores condicionalmente
if (mostrar_valores) {
p <- p + geom_text(
aes(label = formata_valores(y)),
vjust = -1.2, # Empurra o texto para cima do ponto
size = 4, # Tamanho da fonte
color = cor_texto, # Mesma cor dos eixos
fontface = "bold"
)
}
# 3. Retorna o gráfico final
return(p)
}
```
```{r}
#| echo: false
#| label: fig-fmp-exemplo
#| fig-cap: "Distribuição de probabilidade (discreta)"
x_orig <- 0:1
y_orig <- c(0.8, 0.2)
plot_probabilidade(
x = x_orig, y = y_orig,
titulo_x = "Número de automóveis vendidos durante um dia"
)
```
O gráfico acima é um exemplo de distribuição de probabilidade discreta e pode ser representada por uma tabela, como a seguir:
::: {#tbl-fmp-exemplo .w-50 .mx-auto}
| $x$ | $p_X(x)$ |
|-----|----------|
| 0 | 0.8 |
| 1 | 0.2 |
:::
:::
### Variável Aleatória Contínua
Uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou coleção de intervalos é chamada de variável aleatória contínua.
Os resultados experimentais baseados em escalas de medição como tempo, peso, distância e temperatura podem ser descritos por variáveis aleatórias contínuas.
Por exemplo, considere um experimento de monitoramento de chamadas telefônicas recebidas no escritório de sinistros de uma grande seguradora. Suponha que a variável aleatória de interesse seja $X$, *o tempo entre chamadas telefônicas recebidas consecutivas em minutos*.
Esta variável aleatória pode assumir qualquer valor no intervalo $x \ge 0$. Na verdade, um número infinito de valores é possível para $X$, incluindo valores como 1.26 minutos, 2.751 minutos, 4.3333 minutos e assim por diante.
::: {.callout-important appearance="minimal"}
## Variável Aleatória Contínua
Uma variável aleatória contínua pode assumir um número infinito de possíveis valores (todos os valores em um intervalo). Fruto de mensuração
:::
Como outro exemplo, considere uma seção de 90 km da rodovia BR-101 ao norte de Florianópolis, SC. Para um serviço de resgate, poderíamos definir a variável aleatória como $X$, *o número de quilômetros até o local do próximo acidente de trânsito ao longo desta seção da BR-101*. Neste caso, $X$ seria uma variável aleatória contínua assumindo qualquer valor no intervalo $0 \le X \le 90$. Exemplos adicionais de variáveis aleatórias contínuas estão listados abaixo. Note que cada exemplo descreve uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor em um intervalo de valores. Variáveis aleatórias contínuas e suas distribuições de probabilidade serão o tópico do Capítulo
::: {.exemplo icon="false"}
#### Exemplos
* $\mathcal{E}$: Monitorar chamadas telefônicas
* $X =$ "Tempo entre chamadas telefônicas consecutivas em minutos".
* Valores possíveis para $X = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}$
---
* $\mathcal{E}$: Operar um banco
* $X =$ "Tempo entre chegadas de clientes em minutos".
* Valores possíveis para $X = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\}$
---
* $\mathcal{E}$: Preencher uma lata de refrigerante
* $X =$ "Volume de refrigerante na lata em ml".
* Valores possíveis para $X = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 355\}$
---
* $\mathcal{E}$: Monitorar a temperatura de uma reação química
* $X =$ "Temperatura da reação em graus Celsius".
* Valores possíveis para $X = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 100\}$
:::
::: {.callout-note appearance="minimal"}
## Notação: Variável Aleatória Contínua
Seja $X$ uma V.A. Contínua (V.A.C). Os valores que $X$ pode assumir consistem em um intervalo de valores, como por exemplo qualquer valor do intervalo entre $x_1$ e $x_2$, ou seja, $X \in [x_1, x_2]$.
---
**Função Densidade de Probabilidade (FDP)**, indica a **densidade** de cada valor possível da variável aleatória contínua, é denotada por $f_X(x)$.
Sendo $f_X(x)$ a **densidade** da variável aleatória $X$ assumir o valor numérico $x$, e **não** a probabilidade {{< iconify line-md hazard-lights-filled-loop style="color:#db0c0c;" >}}.
A distribuição de densidade de probabilidade de $X$ será, então, uma função $f_X(x)$ tal que, para quaisquer dois números $a$ e $b$ com $a < b$,
$$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f_X(x) dx$$
Isto é, a probabilidade de $X$ ter um determinado valor no intervalo $[a, b]$ é a área contida entre o intervalo e abaixo da curva da **função de densidade** $f_X(x)$, conforme ilustrado na @fig-area-probabilidade-exemplo.
O gráfico de $f_X(x)$ é denominado **curva de densidade de probabilidade**.
---
**Distribuição de Densidade**, é um gráfico ou modelo que representa os valores possíveis de uma variável aleatória contínua e suas respectivas **densidades**.
A **área sob a curva** da distribuição de densidade representa a **probabilidade**.
```{r}
#| echo: false
#| warning: false
library(ggplot2)
# Função parametrizada para criar o gráfico da área sob a curva
plot_area_probabilidade <- function(funcao = NULL,
titulo_x = "Valores de x",
titulo_y = expression(paste("Densidade ", ~ f[X](x))),
xlim = c(-1, 10),
a = 2.5,
b = 5.5,
label_a = "a",
label_b = "b") {
# 1. Definindo as cores da Identidade Visual
paleta <- list(
fundo = "#F7F7F9",
texto = "#0D1121",
dourado = "#D4A337"
)
# 2. Se nenhuma função for passada, cria uma curva que imita o desenho do anexo
if (is.null(funcao)) {
funcao <- function(x) {
0.35 * dnorm(x, mean = 2, sd = 0.9) + 0.65 * dnorm(x, mean = 5, sd = 1.3)
}
}
# Calcula o limite máximo do eixo Y para posicionar a seta e o f(x) dinamicamente
x_seq <- seq(xlim[1], xlim[2], length.out = 100)
y_max <- max(funcao(x_seq))
# 3. Construção do Gráfico
p <- ggplot(data.frame(x = xlim), aes(x = x)) +
# Área sombreada (usando a cor dourada com 30% de opacidade)
stat_function(
fun = funcao, xlim = c(a, b), geom = "area",
fill = paleta$dourado, alpha = 0.3
) +
# Linhas verticais pontilhadas/tracejadas nos pontos 'a' e 'b'
geom_segment(aes(x = a, xend = a, y = 0, yend = funcao(a)),
linetype = "dashed", color = paleta$texto, linewidth = 0.8
) +
geom_segment(aes(x = b, xend = b, y = 0, yend = funcao(b)),
linetype = "dashed", color = paleta$texto, linewidth = 0.8
) +
# Linha principal contínua da função (cor dourada sólida)
stat_function(
fun = funcao, geom = "line",
color = paleta$dourado, linewidth = 1.2
) +
# Ajustes dos eixos e quebras (breaks) para forçar as marcações 'a' e 'b'
scale_x_continuous(
breaks = c(a, b),
labels = c(
parse(text = paste0("italic(", label_a, ")")),
parse(text = paste0("italic(", label_b, ")"))
),
expand = c(0, 0)
) + # expansion(mult = c(0, 0.08))) + # Espaço pra seta do eixo X
scale_y_continuous(expand = c(0, 0)) + # expansion(mult = c(0, 0.15))) + # Espaço pra seta do eixo Y
# anotação da área
annotate(
geom = "curve", x = 7, y = 0.10, xend = 3.5, yend = 0.05,
curvature = .3, arrow = arrow(length = unit(2, "mm"))
) +
annotate(geom = "text", x = 7.1, y = 0.10, label = "Probabilidade", hjust = "left") +
# anotação da função de densidade
annotate(
geom = "curve", x = 8, y = 0.17, xend = 6, yend = funcao(6),
curvature = .3, arrow = arrow(length = unit(2, "mm"))
) +
annotate(geom = "text", x = 8.1, y = 0.17, label = "densidade f(x)", hjust = "left", color = paleta$dourado) +
labs(x = titulo_x, y = titulo_y) +
# Aplicando o tema com a cor de fundo clara
theme_classic() +
theme(
plot.background = element_rect(fill = paleta$fundo, color = NA),
panel.background = element_rect(fill = paleta$fundo, color = NA),
# Estilizando as marcações do eixo X ('a' e 'b')
# axis.ticks.x = element_line(color = paleta$texto, linewidth = 0.8),
# axis.text.x = element_text(color = paleta$texto, size = 16, margin = margin(t = 5)),
text = element_text(color = paleta$texto),
axis.text = element_text(color = paleta$texto, size = 11, face = "bold"),
axis.title = element_text(color = paleta$texto, size = 12, face = "bold", margin = margin(t = 10, r = 10)),
axis.line = element_line(color = paleta$texto, linewidth = 0.8),
axis.ticks = element_line(color = paleta$texto, linewidth = 0.8),
axis.ticks.length = unit(0.2, "cm"),
plot.margin = margin(t = 30, r = 30, b = 20, l = 20)
)
return(p)
}
```
```{r}
#| label: fig-area-probabilidade-exemplo
#| fig-cap: "P(a < X < b) a área abaixo da curva de densidade, entre a e b"
#| echo: false
#| fig-align: center
#| warning: false
# Chama a função criada anteriormente
plot_area_probabilidade()
```
:::
