7 Distribuição Conjunta

Em muitos sistemas de engenharia, a avaliação de desempenho ou falha depende do comportamento simultâneo de duas ou mais grandezas físicas. Analisar as variáveis de forma isolada pode omitir informações cruciais sobre a interação do sistema.

Por exemplo, a vida útil de uma bateria não depende apenas da temperatura ambiente, mas também da taxa de descarga simultânea. O desgaste de um pneu é modelado conjuntamente pela pressão interna e pela carga aplicada. A probabilidade de ocorrência simultânea ou condicionada dessas variáveis é mapeada por meio de distribuições conjuntas.

Este tópico foca primariamente no cenário de Variáveis Aleatórias Discretas, onde as grandezas assumem um conjunto finito de estados ou categorias.

Mais adiante, também desenvolveremos noções de condicionamento e independência que são muito semelhantes às ideias discutidas no Módulo 1.

7.1 Distribuição de Probabilidade Conjunta (Caso Discreto)

Considere duas variáveis aleatórias discretas $X$ e $Y$ associadas ao mesmo experimento. As probabilidades dos valores que $X$ e $Y$ podem assumir são capturadas pela função de probabilidade conjunta de $X$ e $Y$, denotada por $P_{X,Y}$. Em particular, se $(x, y)$ é um par de valores possíveis de $X$ e $Y$, a massa de probabilidade de $(x, y)$ é a probabilidade do evento {X = x, Y = y}:

\[P(X = x \cap Y = y) = P(X = x, Y = y)\]

Quando duas variáveis aleatórias discretas, $X$ e $Y$, são avaliadas simultaneamente em um mesmo espaço amostral, a ferramenta matemática que modela os resultados é a Função de Probabilidade Conjunta. Em outras palavras, ela descreve a probabilidade de valores específicos para ambas as variáveis simultaneamente e segue a regra da multiplicação de probabilidades, já apresentada em [Regra da Multiplicação de Probabilidades]. Da mesma forma, que na regra da multiplicação temos as relações de dependencia ou independencia, agora, entre variáveis aleatórias. A independencia leva a uma forma simplificada da função de probabilidade conjunta.

Função de Probabilidade Conjunta

Notação:

$P(X = x, Y = y) = P(X=x) \cdot P(Y=y | X=x)$

$P(X = x, Y = y) = P(Y=y) \cdot P(X=x | Y=y)$

Onde:

$P(X=x)$ é a distribuição marginal de $X$
$P(Y=y)$ é a distribuição marginal de $Y$
$P(Y=y | X=x)$ é a distribuição condicional de $Y$ dado $X=x$.
$P(X=x | Y=y)$ é a distribuição condicional de $X$ dado $Y=y$.

Premissas do modelo:

A função define a probabilidade de $X$ assumir o valor $x$ e, simultaneamente, $Y$ assumir o valor $y$.
A probabilidade é não-negativa: $P(X = x \cap Y = y) \ge 0$ para todo par $(x, y)$.
A soma das probabilidades de todos os pares possíveis $(x, y)$ é estritamente $1$: \[\sum_{x}\sum_{y} P(X = x \cap Y = y) = 1\]

Para se obter a distribuição conjunta, $P(X, Y)$, é necessário conhecer a caracteristica das variáveis aleatórias, ou seja, se elas são independentes ou dependentes.

Se as variáveis aleatórias forem independentes, então a distribuição conjunta será o produto das distribuições marginais. \[ P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y) \]

Por outro lado, se as variáveis aleatórias forem dependentes, então a distribuição conjunta será o produto das distribuições marginais e condicionais, ou seja, para obter os valores de $P(X, Y)$ é necessário conhecer os valores de $P(X)$ e $P(Y | X)$, ou então, os valores de $P(Y)$ e $P(X | Y)$.

\[ \begin{align*} P(X=x, Y=y) &= P(X=x) \cdot P(Y=y | X=x)\\ P(X=x, Y=y) &= P(Y=y) \cdot P(X=x | Y=y) \end{align*} \]

A distribuição conjunta representa todas as probabilidades conjuntas de $X$ e $Y$ simultaneamente, dessa forma a mesma lógica do cálculo da probabilidade conjunta se aplica. Ou seja, de maneira geral, temos:

\[\underbrace{P(X = x, Y = y)}_{\text{Distribuição conjunta de X e Y}} = \underbrace{P(X=x)}_{\text{Distribuição marginal de X}} \cdot \underbrace{P(Y=y | X=x)}_{\text{Distribuição condicional de Y dado X=x}}\]

A distribuição conjunta de $X$ e $Y$ pode ser construída utilizando-se a distribuição marginal de $X$ e as distribuiçôes condicionais de $Y$ dado $X=x$ ou a distribuição marginal de $Y$ e as distribuiçôes condicionais de $X$ dado $Y=y$. Cabe ressaltar que na maioria das vezes teremos várias distribuições condicionais, ou seja, uma para cada valor que $X$ e $Y$ podem assumir.

Se, e somente se, as variáveis aleatórias forem independentes, então, a distribuição conjunta será o produto das distribuições marginais. Ou seja, se elas forem independentes, então, para se obter os valores de $P(X, Y)$ é necessário conhecer os valores de $P(X)$ e $P(Y)$, somente.

Vamos detalhar a obteção das distribuições marginais e condicionais a partir da distribuição conjunta de $X$ e $Y$ e posteriormente analisar um exemplo onde as variáveis são independentes e outro onde as variáveis são dependentes.

7.1.1 Distribuições Marginais

Para isolar o comportamento de apenas um dos componentes a partir da modelagem conjunta do sistema, utilizamos o processo de marginalização. A distribuição marginal colapsa a interferência de uma variável, somando suas probabilidades para cada estado ou valor possível da variável de interesse.

Distribuições Marginais

Distribuição Marginal de X:

Soma-se a probabilidade conjunta ao longo de todos os estados de $Y$: \[P(X=x) = \sum_{y} P(X=x \cap Y=y)\]

Distribuição Marginal de Y:

Soma-se a probabilidade conjunta ao longo de todos os estados de $X$: \[P(Y=y) = \sum_{x} P(X=x \cap Y=y)\]

7.1.2 Distribuições Condicionais

A distribuição condicional de $Y$ dado $X=x$ é a distribuição de probabilidade de $Y$ quando $X$ é fixo em um determinado valor $x$. Da mesma forma, a distribuição condicional de $X$ dado $Y=y$ é a distribuição de probabilidade de $X$ quando $Y$ é fixo em um determinado valor $y$. Elas refletem a probabilidade dos valores de uma variável assumir um determinado estado, dado que a outra variável assumiu um determinado estado, são reescalas das distribuições marginais, dado um valor específico de uma das variáveis.

Distribuições Condicionais

Distribuição Condicional de X dado Y:

\[P(X=x | Y=y) = \frac{P(X=x \cap Y=y)}{P(Y=y)}\]

Distribuição Condicional de Y dado X:

\[P(Y=y | X=x) = \frac{P(X=x \cap Y=y)}{P(X=x)}\]

O aplicativo abaixo demonstra a construção da distribuição conjunta a partir das distribuições marginais independentes, ou a inserção dos valores da distribuição conjunta conhecida.

Você irá vizualizar a distribuição conjunta em uma tabela bivariada e poderá interagir com a tabela para obter a distribuição marginal e condicional de ambas as variáveis, basta condicionar ao valor de uma das variáveis. Por exemplo, se você fixar o valor de $X$ em um determinado valor, você obterá a distribuição condicional de $Y$ dado $X$ fixado.

Aplicativo 7.1

7.1.2.1 Exemplo Dificuldade:

Um servidor em nuvem possui dois subsistemas de armazenamento ($X$) e de processamento ($Y$). Durante um pico de demanda, $X$ representa o número de discos operando em capacidade máxima de escrita ($X \in \{0, 1, 2\}$) e $Y$ representa o número de núcleos de CPU na temperatura limite ($Y \in \{0, 1\}$). O comportamento conjunto desses hardwares é tabelado abaixo:

$p_{X,Y}(x, y)$	$Y = 0$	$Y = 1$
$X = 0$	0.40	0.10
$X = 1$	0.20	0.15
$X = 2$	0.05	0.10

Qual é a probabilidade do sistema estar com exatamente um disco em carga máxima ($X=1$), independente do estado da CPU?

Solução Analítica:

A probabilidade do sistema operar com 1 disco em carga máxima requer a distribuição marginal de $X$ em $x=1$. Isso significa calcular a probabilidade para as situações onde a CPU não está no limite ($Y=0$) e onde a CPU está no limite ($Y=1$).

\[p_X(1) = \sum_{y \in \{0, 1\}} p_{X,Y}(1, y) = p_{X,Y}(1, 0) + p_{X,Y}(1, 1)\] \[p_X(1) = 0.20 + 0.15 = 0.35\]

Há uma probabilidade de $0.35$ (ou 35%) de o sistema registrar exatamente 1 disco em carga máxima.

7.2 Expansão para o Caso Contínuo

As mesmas ideias aplicadas a matrizes de probabilidades discretas são transferíveis para variáveis que assumem infinitos valores em um intervalo (ex: pressão, resistência mecânica, dimensões). A diferença principal consiste na substituição da soma matemática ($\sum$) pela integral ($\int$).

A Função Densidade de Probabilidade Conjunta (FDP Conjunta) $f_{X,Y}(x,y)$ modela variáveis contínuas. A probabilidade da medição do par $(X,Y)$ estar compreendida em uma área $A$ do plano cartesiano exige o cálculo da integral dupla (volume) sob a superfície:

\[P((X,Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x,y) dx dy\]

De forma análoga às distribuições marginais discretas, as FDP Marginais contínuas são calculadas “integrando fora” a interferência da outra variável:

\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy\] \[f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx\]

Essa generalização fornece o aparato matemático necessário para monitorar sistemas de estado contínuo simultâneos.

--- title: "Distribuição Conjunta" format: html --- ```{r} #| warning: false #| echo: false source("../../functions.R") set.seed(42) ``` Em muitos sistemas de engenharia, a avaliação de desempenho ou falha depende do comportamento simultâneo de duas ou mais grandezas físicas. Analisar as variáveis de forma isolada pode omitir informações cruciais sobre a interação do sistema. Por exemplo, a vida útil de uma bateria não depende apenas da temperatura ambiente, mas também da taxa de descarga simultânea. O desgaste de um pneu é modelado conjuntamente pela pressão interna e pela carga aplicada. A probabilidade de ocorrência simultânea ou condicionada dessas variáveis é mapeada por meio de distribuições conjuntas. Este tópico foca primariamente no cenário de **Variáveis Aleatórias Discretas**, onde as grandezas assumem um conjunto finito de estados ou categorias. Mais adiante, também desenvolveremos noções de condicionamento e independência que são muito semelhantes às ideias discutidas no Módulo 1. ## Distribuição de Probabilidade Conjunta (Caso Discreto) Considere duas variáveis aleatórias discretas $X$ e $Y$ associadas ao mesmo experimento. As probabilidades dos valores que $X$ e $Y$ podem assumir são capturadas pela função de probabilidade conjunta de $X$ e $Y$, denotada por $P_{X,Y}$. Em particular, se $(x, y)$ é um par de valores possíveis de $X$ e $Y$, a massa de probabilidade de $(x, y)$ é a probabilidade do evento {X = x, Y = y}: $$P(X = x \cap Y = y) = P(X = x, Y = y)$$ Quando duas variáveis aleatórias discretas, $X$ e $Y$, são avaliadas simultaneamente em um mesmo espaço amostral, a ferramenta matemática que modela os resultados é a **Função de Probabilidade Conjunta**. Em outras palavras, ela descreve a probabilidade de valores específicos para ambas as variáveis simultaneamente e segue a regra da multiplicação de probabilidades, já apresentada em [[Regra da Multiplicação de Probabilidades](/capitulos/modulo1/probabilidade.qmd#sec-regra-multiplicacao)]. Da mesma forma, que na regra da multiplicação temos as relações de dependencia ou independencia, agora, entre variáveis aleatórias. A independencia leva a uma forma simplificada da função de probabilidade conjunta. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Função de Probabilidade Conjunta ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Notação:** $P(X = x, Y = y) = P(X=x) \cdot P(Y=y | X=x)$ ou $P(X = x, Y = y) = P(Y=y) \cdot P(X=x | Y=y)$ Onde: - $P(X=x)$ é a distribuição marginal de $X$ - $P(Y=y)$ é a distribuição marginal de $Y$ - $P(Y=y | X=x)$ é a distribuição condicional de $Y$ dado $X=x$. - $P(X=x | Y=y)$ é a distribuição condicional de $X$ dado $Y=y$. **Premissas do modelo:** 1. A função define a probabilidade de $X$ assumir o valor $x$ **e**, simultaneamente, $Y$ assumir o valor $y$. 2. A probabilidade é não-negativa: $P(X = x \cap Y = y) \ge 0$ para todo par $(x, y)$. 3. A soma das probabilidades de todos os pares possíveis $(x, y)$ é estritamente $1$: $$\sum_{x}\sum_{y} P(X = x \cap Y = y) = 1$$ ::: ::: Para se obter a distribuição conjunta, $P(X, Y)$, é necessário conhecer a caracteristica das variáveis aleatórias, ou seja, se elas são **independentes** ou **dependentes**. Se as variáveis aleatórias forem **independentes**, então a distribuição conjunta será o produto das distribuições marginais. $$ P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y) $$ Por outro lado, se as variáveis aleatórias forem **dependentes**, então a distribuição conjunta será o produto das distribuições marginais e condicionais, ou seja, para obter os valores de $P(X, Y)$ é necessário conhecer os valores de $P(X)$ e $P(Y | X)$, ou então, os valores de $P(Y)$ e $P(X | Y)$. $$ \begin{align*} P(X=x, Y=y) &= P(X=x) \cdot P(Y=y | X=x)\\ P(X=x, Y=y) &= P(Y=y) \cdot P(X=x | Y=y) \end{align*} $$ A distribuição conjunta representa todas as probabilidades conjuntas de $X$ e $Y$ simultaneamente, dessa forma a mesma lógica do cálculo da probabilidade conjunta se aplica. Ou seja, de maneira geral, temos: $$\underbrace{P(X = x, Y = y)}_{\text{Distribuição conjunta de X e Y}} = \underbrace{P(X=x)}_{\text{Distribuição marginal de X}} \cdot \underbrace{P(Y=y | X=x)}_{\text{Distribuição condicional de Y dado X=x}}$$ A distribuição conjunta de $X$ e $Y$ pode ser construída utilizando-se a distribuição marginal de $X$ e as distribuiçôes condicionais de $Y$ dado $X=x$ ou a distribuição marginal de $Y$ e as distribuiçôes condicionais de $X$ dado $Y=y$. Cabe ressaltar que na maioria das vezes teremos várias distribuições condicionais, ou seja, uma para cada valor que $X$ e $Y$ podem assumir. Se, e somente se, as **variáveis aleatórias forem independentes**, então, a distribuição conjunta será o produto das distribuições marginais. Ou seja, se elas forem independentes, então, para se obter os valores de $P(X, Y)$ é necessário conhecer os valores de $P(X)$ e $P(Y)$, somente. Vamos detalhar a **obteção** das distribuições marginais e condicionais **a partir da distribuição conjunta** de $X$ e $Y$ e posteriormente analisar um exemplo onde as variáveis são independentes e outro onde as variáveis são dependentes. ### Distribuições Marginais Para isolar o comportamento de apenas um dos componentes a partir da modelagem conjunta do sistema, utilizamos o processo de marginalização. A distribuição marginal colapsa a interferência de uma variável, somando suas probabilidades para cada estado ou valor possível da variável de interesse. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Distribuições Marginais ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Distribuição Marginal de X:** Soma-se a probabilidade conjunta ao longo de todos os estados de $Y$: $$P(X=x) = \sum_{y} P(X=x \cap Y=y)$$ **Distribuição Marginal de Y:** Soma-se a probabilidade conjunta ao longo de todos os estados de $X$: $$P(Y=y) = \sum_{x} P(X=x \cap Y=y)$$ ::: ::: ### Distribuições Condicionais A distribuição condicional de $Y$ dado $X=x$ é a distribuição de probabilidade de $Y$ quando $X$ é fixo em um determinado valor $x$. Da mesma forma, a distribuição condicional de $X$ dado $Y=y$ é a distribuição de probabilidade de $X$ quando $Y$ é fixo em um determinado valor $y$. Elas refletem a probabilidade dos valores de uma variável assumir um determinado estado, dado que a outra variável assumiu um determinado estado, são reescalas das distribuições marginais, dado um valor específico de uma das variáveis. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Distribuições Condicionais ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Distribuição Condicional de X dado Y:** $$P(X=x | Y=y) = \frac{P(X=x \cap Y=y)}{P(Y=y)}$$ **Distribuição Condicional de Y dado X:** $$P(Y=y | X=x) = \frac{P(X=x \cap Y=y)}{P(X=x)}$$ ::: ::: O aplicativo abaixo demonstra a construção da distribuição conjunta a partir das distribuições marginais independentes, ou a inserção dos valores da distribuição conjunta conhecida. Você irá vizualizar a distribuição conjunta em uma tabela bivariada e poderá interagir com a tabela para obter a distribuição marginal e condicional de ambas as variáveis, basta condicionar ao valor de uma das variáveis. Por exemplo, se você fixar o valor de $X$ em um determinado valor, você obterá a distribuição condicional de $Y$ dado $X$ fixado. ::: {#app-distribuicao-conjunta-discreta} <iframe src="apps/distribuicao_conjunta_discreta.html" width="100%" height="1120px" style="border:none;"></iframe> ::: ::: {.exemplo icon="false"} #### Exemplo `r dif(1)` Um servidor em nuvem possui dois subsistemas de armazenamento ($X$) e de processamento ($Y$). Durante um pico de demanda, $X$ representa o número de discos operando em capacidade máxima de escrita ($X \in \{0, 1, 2\}$) e $Y$ representa o número de núcleos de CPU na temperatura limite ($Y \in \{0, 1\}$). O comportamento conjunto desses hardwares é tabelado abaixo: | $p_{X,Y}(x, y)$ | $Y = 0$ | $Y = 1$ | | :---: | :---: | :---: | | **$X = 0$** | 0.40 | 0.10 | | **$X = 1$** | 0.20 | 0.15 | | **$X = 2$** | 0.05 | 0.10 | Qual é a probabilidade do sistema estar com exatamente um disco em carga máxima ($X=1$), independente do estado da CPU? *** **Solução Analítica:** A probabilidade do sistema operar com 1 disco em carga máxima requer a **distribuição marginal de $X$** em $x=1$. Isso significa calcular a probabilidade para as situações onde a CPU não está no limite ($Y=0$) e onde a CPU está no limite ($Y=1$). $$p_X(1) = \sum_{y \in \{0, 1\}} p_{X,Y}(1, y) = p_{X,Y}(1, 0) + p_{X,Y}(1, 1)$$ $$p_X(1) = 0.20 + 0.15 = 0.35$$ Há uma probabilidade de $0.35$ (ou 35%) de o sistema registrar exatamente 1 disco em carga máxima. ::: ## Expansão para o Caso Contínuo As mesmas ideias aplicadas a matrizes de probabilidades discretas são transferíveis para variáveis que assumem infinitos valores em um intervalo (ex: pressão, resistência mecânica, dimensões). A diferença principal consiste na substituição da soma matemática ($\sum$) pela integral ($\int$). A **Função Densidade de Probabilidade Conjunta** (FDP Conjunta) $f_{X,Y}(x,y)$ modela variáveis contínuas. A probabilidade da medição do par $(X,Y)$ estar compreendida em uma área $A$ do plano cartesiano exige o cálculo da integral dupla (volume) sob a superfície: $$P((X,Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x,y) dx dy$$ De forma análoga às distribuições marginais discretas, as **FDP Marginais** contínuas são calculadas "integrando fora" a interferência da outra variável: $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy$$ $$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx$$ Essa generalização fornece o aparato matemático necessário para monitorar sistemas de estado contínuo simultâneos.

\(p_{X,Y}(x, y)\)	\(Y = 0\)	\(Y = 1\)
\(X = 0\)	0.40	0.10
\(X = 1\)	0.20	0.15
\(X = 2\)	0.05	0.10