10 Convolução de Variáveis Aleatórias

Na construção de sistemas em série, frequentemente precisamos prever o comportamento do tempo total de processamento ou da tolerância agregada. Se uma peça automotiva precisa passar por um torno CNC (variável de tempo $X_1$) e posteriormente por uma máquina de polimento (variável de tempo $X_2$), qual é o modelo exato para a variação do tempo total de produção $S = X_1 + X_2$?

A simples soma do valor esperado e o acúmulo da variância (já estudados) oferecem parâmetros resumo, mas não revelam o “formato” da nova distribuição. Para obter a distribuição estatística exata da soma de duas variáveis independentes, a engenharia estatística recorre ao operador matemático da Convolução.

10.1 O Operador de Convolução

A convolução “desliza” uma distribuição sobre a outra para calcular as probabilidades combinadas de todas as configurações possíveis que resultam em uma soma específica.

Convolução (Soma de Variáveis Independentes)

Premissa:

Sejam $X_1$ e $X_2$ duas variáveis aleatórias independentes, cuja soma modela o sistema final $S = X_1 + X_2$.

Caso Discreto (Soma de Convolução):

Para encontrar a probabilidade do sistema atingir exatamente um estado $s$, soma-se o produto das marginais em todos os pontos compatíveis onde $x_1 + x_2 = s$:

\[P(S = s) = \sum_{x_1} P(X_1 = x_1) P(X_2 = s - x_1)\]

Caso Contínuo (Integral de Convolução):

O somatório é estendido para um contínuo via integração:

\[f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(s - x_1) dx_1\]

O simulador abaixo demonstra visualmente o princípio do “deslizamento e sobreposição” da integral de convolução para variáveis aleatórias discretas.

Aplicativo 10.1: Convolução de duas variáveis aleatórias discretas

10.1.0.1 Exemplo Dificuldade:

Uma linha de pacotes de dados em uma rede embarcada passa por dois roteadores seriais independentes. O tempo de atraso (delay) do Roteador 1 é modelado de forma discreta pela variável $X_1$, que assume valores $\{1, 2\}$ ms com probabilidades iguais ($0.5$ cada). O tempo de atraso do Roteador 2 é modelado por $X_2$, que assume $\{1, 2, 3\}$ ms de forma equiprovável ($1/3$ cada).

Determine a distribuição de probabilidade exata do atraso total $S = X_1 + X_2$. Qual a probabilidade de o atraso ser igual a $3$ ms?

Solução Analítica:

Aplicaremos a fórmula discreta da convolução: $P(S = s) = \sum P(X_1 = x_1) P(X_2 = s - x_1)$. Os valores possíveis para a soma $S$ estendem-se do mínimo absoluto ($1+1=2$) ao máximo absoluto ($2+3=5$). Portanto, $S \in \{2, 3, 4, 5\}$.

A probabilidade do atraso total ser $3$ ms requer todas as origens possíveis onde $x_1 + x_2 = 3$: - Cenário A: $X_1 = 1$ e $X_2 = 2$. Probabilidade: $0.5 \times (1/3) = 1/6$ - Cenário B: $X_1 = 2$ e $X_2 = 1$. Probabilidade: $0.5 \times (1/3) = 1/6$

Somando os cenários independentes: \[P(S = 3) = P(X_1=1)P(X_2=2) + P(X_1=2)P(X_2=1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} \approx 0.3333\]

Prova Computacional (Simulação):

Código

n_sim <- 100000

# Geração dos atrasos
X_sim <- sample(c(1, 2), size = n_sim, replace = TRUE, prob = c(0.5, 0.5))
Y_sim <- sample(c(1, 2, 3), size = n_sim, replace = TRUE, prob = c(1 / 3, 1 / 3, 1 / 3))

# Atraso Total
Z_sim <- X_sim + Y_sim

# Cálculo da probabilidade empírica
prob_Z_3 <- mean(Z_sim == 3)

cat(sprintf("Teoria -> P(S=3): 0.3333\n"))
cat(sprintf("Simulação -> P(S=3): %.4f\n", prob_Z_3))

Teoria -> P(S=3): 0.3333
Simulação -> P(S=3): 0.3345

A convolução é o princípio matemático fundamental que fundamenta o Teorema Central do Limite, demonstrando matematicamente que convulsões repetidas de praticamente qualquer formato de distribuição resultam iterativamente em uma distribuição normal (gaussiana).

--- title: "Convolução de Variáveis Aleatórias" format: html --- ```{r} #| warning: false #| echo: false source("../../functions.R") set.seed(42) ``` Na construção de sistemas em série, frequentemente precisamos prever o comportamento do tempo total de processamento ou da tolerância agregada. Se uma peça automotiva precisa passar por um torno CNC (variável de tempo $X_1$) e posteriormente por uma máquina de polimento (variável de tempo $X_2$), qual é o modelo exato para a variação do tempo total de produção $S = X_1 + X_2$? A simples soma do valor esperado e o acúmulo da variância (já estudados) oferecem parâmetros resumo, mas não revelam o "formato" da nova distribuição. Para obter a distribuição estatística exata da soma de duas variáveis independentes, a engenharia estatística recorre ao operador matemático da **Convolução**. ## O Operador de Convolução A convolução "desliza" uma distribuição sobre a outra para calcular as probabilidades combinadas de todas as configurações possíveis que resultam em uma soma específica. ::: {.callout-duas-caixas} ::: {.coluna-titulo-dourada} Convolução (Soma de Variáveis Independentes) ::: ::: {.coluna-conteudo-dourada} **Premissa:** Sejam $X_1$ e $X_2$ duas variáveis aleatórias **independentes**, cuja soma modela o sistema final $S = X_1 + X_2$. **Caso Discreto (Soma de Convolução):** Para encontrar a probabilidade do sistema atingir exatamente um estado $s$, soma-se o produto das marginais em todos os pontos compatíveis onde $x_1 + x_2 = s$: $$P(S = s) = \sum_{x_1} P(X_1 = x_1) P(X_2 = s - x_1)$$ **Caso Contínuo (Integral de Convolução):** O somatório é estendido para um contínuo via integração: $$f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(s - x_1) dx_1$$ ::: ::: O simulador abaixo demonstra visualmente o princípio do "deslizamento e sobreposição" da integral de convolução para variáveis aleatórias discretas. :::{#app-convolucao-discreta-grafico} <iframe src="apps/convolucao_grafica.html" width="100%" height="1200px" style="border:none;"></iframe> Convolução de duas variáveis aleatórias discretas ::: :::{.exemplo icon="false"} #### Exemplo `r dif(2)` Uma linha de pacotes de dados em uma rede embarcada passa por dois roteadores seriais independentes. O tempo de atraso (delay) do Roteador 1 é modelado de forma discreta pela variável $X_1$, que assume valores $\{1, 2\}$ ms com probabilidades iguais ($0.5$ cada). O tempo de atraso do Roteador 2 é modelado por $X_2$, que assume $\{1, 2, 3\}$ ms de forma equiprovável ($1/3$ cada). Determine a distribuição de probabilidade exata do atraso total $S = X_1 + X_2$. Qual a probabilidade de o atraso ser igual a $3$ ms? *** **Solução Analítica:** Aplicaremos a fórmula discreta da convolução: $P(S = s) = \sum P(X_1 = x_1) P(X_2 = s - x_1)$. Os valores possíveis para a soma $S$ estendem-se do mínimo absoluto ($1+1=2$) ao máximo absoluto ($2+3=5$). Portanto, $S \in \{2, 3, 4, 5\}$. A probabilidade do atraso total ser $3$ ms requer todas as origens possíveis onde $x_1 + x_2 = 3$: - Cenário A: $X_1 = 1$ e $X_2 = 2$. Probabilidade: $0.5 \times (1/3) = 1/6$ - Cenário B: $X_1 = 2$ e $X_2 = 1$. Probabilidade: $0.5 \times (1/3) = 1/6$ Somando os cenários independentes: $$P(S = 3) = P(X_1=1)P(X_2=2) + P(X_1=2)P(X_2=1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} \approx 0.3333$$ **Prova Computacional (Simulação):** ```{r} #| warning: false #| results: hold n_sim <- 100000 # Geração dos atrasos X_sim <- sample(c(1, 2), size = n_sim, replace = TRUE, prob = c(0.5, 0.5)) Y_sim <- sample(c(1, 2, 3), size = n_sim, replace = TRUE, prob = c(1 / 3, 1 / 3, 1 / 3)) # Atraso Total Z_sim <- X_sim + Y_sim # Cálculo da probabilidade empírica prob_Z_3 <- mean(Z_sim == 3) cat(sprintf("Teoria -> P(S=3): 0.3333\n")) cat(sprintf("Simulação -> P(S=3): %.4f\n", prob_Z_3)) ``` ::: A convolução é o princípio matemático fundamental que fundamenta o **Teorema Central do Limite**, demonstrando matematicamente que convulsões repetidas de praticamente qualquer formato de distribuição resultam iterativamente em uma distribuição normal (gaussiana).