O calcúlo de probabilidades associada a eventos é dado a partir das regras de probabilidade oriundas dos axiomas de Kolmogorov. As regras fundamentais para o calculo de probabilidade de um ou mais eventos são dadas por:
Um silo de 50 itens fabricados contém 3 itens defeituosos. Uma amostra de seis itens é selecionada a partir dos 50 itens. Os itens selecionados não são repostos. Ou seja, cada item pode somente ser selecionado uma única vez e a amostra é um subconjunto dos 50 itens.
Ref: Montgomery
Solução
Podemos avaliar a solução desse problema utilizando técnicas de contagem, e a partir dai tomando a razão de quantas vezes o evento em questão pode acontecer no espaço amostral (todos os possíveis resultados).
A ordem em que os itens que pertencem a amostra importa? Não, se sairem os itens 1,2,3,4,5 e 6, será contabilizado o mesmo que saírem os itens 5,6,4,2,3 e 1, e assim por diante.
Dessa forma podemos utilizar combinação de 6 itens dos 50 itens.
(506)=15890700
choose(50,6)
[1] 15890700
(32)=3
choose(3,2)
[1] 3
(474)=178365
choose(47,4)
[1] 178365
(32)(474)=535095
choose(3,2)*choose(47,4)
[1] 535095
P(evento)=(32)(474)(506)=0.03367347
choose(3,2)*choose(47,4)/choose(50,6)
[1] 0.03367347
Em uma planta química, 24 tanques de retenção são usados para armazenagem do produto final. Quatro tanques são selecionados ao acaso e sem reposição. Suponha que seis dos tanques contenham o material em que a viscosidade exceda os requerimentos dos consumidores.
Ref: Montgomery
Solução
P(exatamente um tanque em seis contenha alta viscosidade)=
Como exatamente um tanque com alta viscosidade pode ocorrer em uma amostra de tamanho quatro?
Mais uma vez vamos quebrar o problema em partes:
(61)=6
choose(6,1)
[1] 6
(183)=816
choose(18,3)
[1] 816
(244)=10626
choose(24,4)
[1] 10626
P(evento)=(61)(183)(244)=0.4607566
choose(6,1)*choose(18,3)/choose(24,4)
[1] 0.4607566
Para resolver esse problema utilizamos o complemento do evento (no mínimo um tanque na amostra conter o material com alta viscosidade).
P(evento)=1−P(eventoc)
Mais uma vez vamos quebrar o problema em partes:
(184)=3060
choose(18,4)
[1] 3060
Dessa forma temos que a probabilidade desse complemento descontado da probabilidade do espaço amostral nos fornece a resposta:
P(evento)=1−(184)(244)=0.7120271
1 - choose(18,4)/choose(24,4)
[1] 0.7120271
Podemos imaginar o seguinte, que na amostra de tamanho quatro, temos um elemento dos seis com alta viscosidade, um dos quatro com alto nível de impureza e outros dois dos quatorze tanques (sendo 14 = 24 - 6 - 4) dentro das especificações. Isso resulta em:
(61)(41)(142)=2184
choose(6,1)*choose(4,1)*choose(14,2)
[1] 2184
Dessa forma temos que a probabilidade desse evento é:
P(evento)=(61)(41)(142)(244)=0.2055336
choose(6,1)*choose(4,1)*choose(14,2)/choose(24,4)
[1] 0.2055336
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