A distribuição exponencial pode ser associada com a distribuição geométrica. Porém antes de tratarmos das similaridades da propriedade dessas duas distribuições avaliaremos as características da variável aleatória.

De uma forma bastante resumida imagine uma variável aleatória Poisson, onde temos a contagem do número de ocorrências em um intervalo. Suponha agora que estejamos interessados em verificar a probabilidade do tempo transcorrido entre duas ocorrências consecutivas. Essa última é considerada uma variável aleatória exponencial.

Essa distribuição contínua que pode ser utilizada para descrever as probabilidades envolvidas no tempo que decorre para que um determinado evento aconteça. Existe uma conexão muito próxima entre a distribuição exponencial e a de Poisson. Ou seja, é Utilizada para descrever o tempo entre as ocorrências de sucessivos eventos de uma distribuição de Poisson.As relações entre as distribuições podem ser associadas a um processo estocástico, chamado de processo de poisson.

Para simplicar a abordagem imagine um processo de chegada sendo monitorando ao longo do tempo (sendo o tempo uma variável contínua).

Onde a taxa de chegada é um parâmetro associado \(\lambda\) por unidade de tempo.

Para esse exemplo podemos estar interessados em algumas quantidades, como o número de chegadas em um determinado intervalo (contínuo). Essa quantidade é descrita por uma variável aleatória Poisson. Outra quantidade de interesse poderia ser a distribuição do tempo entre chegadas, onde essa quantidade é uma variável aleatória Exponencial.

Variável Aleatória Generalizada
Seja \(X\) a distância/tempo entre contagens sucessivas de um processo de Poisson.
Exemplos

Dado um experimento aleatório \(e\), de acordo com a v.a.d. \(X\):

  • Seja \(X\) o tempo entre as avarias de um equipamento.

  • Seja \(X\) o tempo entre as chegadas de táxis a uma interseção movimentada.

  • Seja \(X\) o tempo entre as chegadas de aeronaves a um aeroporto específico.

  • Seja \(X\) a distância entre duas falhas sucessivas em uma fita magnética.

  • Seja \(X\) a distância entre grandes buracos em uma rodovia movimentada.

  • …

Função Densidade de Probabilidade
\[ f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad 0 \le x < \infty \] Sendo \(\lambda >0\)
Função de Distribuição Cumulativa
\[ F_X(x)= \mathbb{P}(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x} \quad x \ge 0 \] Sendo \(\lambda >0\)
Valor Esperado e Variância
\[ E[X] = \frac{1}{\lambda} \\ V(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]

Seja \(X\) uma variável aleatória exponencial \(X \sim Exp(\lambda)\), a forma da distribuição e determinada pelo valor de \(\lambda\).

library(ggplot2)
ggplot(data.frame(x=c(0,3)),aes(x=x)) +
  stat_function(fun=dexp,geom = "line",size=1,col="blue",args = (mean=5)) +
  stat_function(fun=dexp,geom = "line",size=1,col="green",args = (mean=3)) +
  stat_function(fun=dexp,geom = "line",size=1,col="red",args = (mean=1.5)) +
  annotate("text", x = 2, y = 0.25, label = "lambda = 1.5", colour = "red") +
  annotate("text", x = 1, y = 1.25, label = "lambda = 3", colour = "green") +
  annotate("text", x = 1, y = 4, label = "lambda = 5", colour = "blue")

A distribuição exponencial permite caracterizar o tempo/distância entre as ocorrências oriundas de um processo de poisson.

Imagine que estejamos analisando um jogo de futebol e temos interesse em caracterizar o número de gols por partida, essa variável aleatória é uma Poisson. Podemos ainda caracterizar o tempo entre essas ocorrências, e essa v.a. é uma Exponencial.

Exemplo - Exponencial 1

Suponha que \(X\) tenha uma distribuição exponencial, com \(\lambda = 2\). Determine,

  1. \(\mathbb{P}(X \le 0)\)
  2. \(\mathbb{P}(X \le 1)\)
  3. \(\mathbb{P}(x \ge 2)\)
  4. \(\mathbb{P}(1 < X < 2)\)
  5. Encontre o valor de \(x\) tal que a \(\mathbb{P}(X < x) = 0.05\) ***

Solução

library(ggplot2)
ggplot(data.frame(x=c(0,7)),aes(x=x)) +
  stat_function(fun=dexp,geom = "line",size=2,col="blue",args = (mean=2)) +
  annotate("text", x = 1, y = 1, label = "lambda = 2", colour = "blue")

  1. \(\mathbb{P}(X \le 0)\) \[\mathbb{P}(X \le 0) = \int_0^0\lambda e^{-\lambda x}dx = 0\]

  2. \(\mathbb{P}(X \le 1)\)

\[\mathbb{P}(X \le 1) = \int_0^1 2 e^{-2 x}dx = -e^{-2x} |^{1}_{0} = 1 - e^{-2} = 0.8647\]

pexp(1,2)
[1] 0.8646647
  1. \(\mathbb{P}(x \ge 2)\)
1 - pexp(2,2)
[1] 0.01831564
  1. \(\mathbb{P}(1 < X < 2)\)
pexp(2,2) - pexp(1,2)
[1] 0.1170196
  1. Encontre o valor de \(x\) tal que a \(\mathbb{P}(X < x) = 0.05\)
qexp(0.05,2)
[1] 0.02564665

\[\mathbb{P}(X \le x) = \int_0^x 2 e^{-2 x}dx = 1 - e^{-2x} = 0.05 \quad x = 0.0256\]

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