Método 1: Equações Separáveis

Dada a função da forma canônica (padrão):

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{f(y)}} \\ \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= \frac{\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{f(y)}} \end{align} \] - Reescrever na forma diferencial e integrar:

\[ \begin{align} \int{\color{blue}{f(y)}}{\color{blue}{dy}} &= \int{\color{orange}{g(t)}}{\color{orange}{dt}} \end{align} \]

Método 2: Equações Lineares

Dada a função da forma canônica (padrão), não fatorável para \({y^{\prime}}\), ou seja não separável:

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} + {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \] ou ainda: \[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \] note que \({\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} = -{\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}}\), apenas para não termos que lidar com sinal negativo nessa demonstração.

Note que uma EDO linear de 1º ordem homogênea é separável:

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} \end{align} \] basta utilizar o método 1 para resolver.

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} &= {\color{orange}{a(t)}}{\color{blue}{y}} + {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

Para resolve-la vamos introduzir um método.

Método para solução de uma EDO 1º ordem linear não-homogênea - (Fator de integração):

A equação da forma:

\[ \begin{align} \boxed{\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}}} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

O lado esquerdo da equação “parece” o resultado da Regra do Produto. Então vamos pegar o lado esquerdo e multiplicar por uma função mágica \(\mu(t)\) de tal forma que tenhamos o resultado da Regra do Produto.

Lembre-se

\[ \begin{align} \mu \frac{dy}{dt} + \frac{d\mu}{dt} y &= \frac{d}{dt}(\mu\cdot y) \end{align} \]

Então, multiplicando o lado esquerdo por \(\mu(t)\) temos:

$$ \[\begin{align} \mu(t)\frac{dy}{dt} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \frac{d}{dt}(\mu(t)\cdot \color{blue}{y}) \\ \\ \mu(t)\frac{dy}{dt} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t)\frac{dy}{dt}+\frac{d\mu}{dt}\color{blue}{y} \\ \\ \mu(t){\color{orange}{g(t)}} &= \frac{d\mu}{dt} \\ \\ \frac{d\mu}{dt} &= \mu(t){\color{orange}{g(t)}} \\ \\ \mu(t) &= e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} \end{align}\]

$$ Assim a função mágica é chamada de fator de integração:

\[ \begin{align} \mu(t) = e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} \end{align} \]

Assim multiplicando ambos os lados da nossa equação temos:

\[ \begin{align} \mu(t)\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d}{dt}(\mu(t)\cdot{\color{blue}{y}}) &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \end{align} \] Integrando ambos os lados para resolver, temos: \[ \begin{align} \mu(t)\cdot{\color{blue}{y}} &= \int\mu(t){\color{orange}{b(t)}}dt \end{align} \]

Passos para resolver a EDO 1º ordem não homogênea utilizando o fator de integração:

  • Colocar a equação na forma:

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

  • Obter o fator de integração:

\[ \begin{align} \mu(t) = e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} \end{align} \] - Multiplicar ambos os lados por \(\mu(t)\):

\[ \begin{align} \mu(t)\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \end{align} \] - Notar que o resultado do lado esquerdo é o resultado da regra do produto, integrando ambos os lados resulta em:

\[ \begin{align} \mu(t)\cdot{\color{blue}{y}} &= \int\mu(t){\color{orange}{b(t)}}dt \end{align} \]

Resolve se a integral, note que nesta última integração devemos adicionar a constante de integração. Isolando o \(y(t)\) (quando possível) tem-se a solução geral explícita da EDO, caso contrário tem-se a solução geral implícita.

Método para solução de uma EDO 1º ordem linear não-homogênea - (Variação de parâmetros):

É um método muito similar ao do fator de integração, porém com outra abordagem. Este é um método aplicado regularmente para resolver EDO’s de 2º ordem com mais eficiência que o anterior.

Procedimento geral:

  • Encontrar a solução (não trivial, não zero) da EDO homogênea \(\color{cyan}{y_h(t)}\), por separação de variáveis.

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{{\color{cyan}{dy_h}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}} &= 0 \end{align} \]

  • Variação de parâmetros: substituiremos \(\color{blue}{y(t)} = \mu(t)\color{cyan}{y_h(t)}\) na equação não-homogênea, para encontrar a função desconhecida \(\mu = \mu(t)\).

\[ \begin{align} \frac{{\color{blue}{dy(t)}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y(t)}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \frac{d}{dt}(\mu(t)\color{cyan}{y_h}) + {\color{orange}{g(t)}}\mu(t){\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt}+ {\color{orange}{g(t)}}\mu{\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt}+ {\color{orange}{g(t)}}\mu{\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu(\underbrace{\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}}}_{0}) &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

Note que o termo \(\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}} = 0\), resultando em:

\[ \begin{align} \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align} \]

  • Resolva a equação para \(\mu(t)\) por integração:

\[ \begin{align} \frac{d\mu}{dt} &= \frac{{\color{orange}{b(t)}}}{\color{cyan}{y_h(t)}} \end{align} \]

  • Uma vez que \(\mu(t)\) é encontrada substitua em:

\[ \color{blue}{y(t)} = \mu(t)\color{cyan}{y_h(t)} \] Dessa forma se obtém a solução geral da equação não-homogênea.

A ideia toda é que funções da forma \(C\color{cyan}{y_h(t)}\) são soluções para a equação homogênea, talvez possamos encontrar soluções para a equação não-homogênea permitindo o parâmetro \(C\) variar, por exemplo, substituindo por uma função não-constante \(\mu(t)\).

Fator de Integração e Variação de Parâmetros

  • Para EDO’s Lineares de 1º ordem ambos os métodos funcionam (na verdade são iguais, com diferentes explicações), mas é necessário conhecer ambos:

  • Para EDO’s Lineares de 2º ou mais alta ordem e sistemas o método da variação de parâmetros funciona, e o fator de integração falha;

  • Para muitas EDO’s Não Lineares de 1º ordem o fator de integração funciona, e a variação de parâmetros falha;

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