Métodos - EDO Linear de 1º ordem

Método para solução de uma EDO 1º ordem linear não-homogênea - (Fator de integração):

A equação da forma:

$$\begin{align} \boxed{\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}}} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align}$$

O lado esquerdo da equação “parece” o resultado da Regra do Produto. Então vamos pegar o lado esquerdo e multiplicar por uma função mágica $\mu(t)$ de tal forma que tenhamos o resultado da Regra do Produto.

Lembre-se

$$\begin{align} \mu \frac{dy}{dt} + \frac{d\mu}{dt} y &= \frac{d}{dt}(\mu\cdot y) \end{align}$$

Então, multiplicando o lado esquerdo por $\mu(t)$ temos:

$$ Assim a função mágica é chamada de fator de integração:

$$\begin{align} \mu(t) = e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} \end{align}$$

Assim multiplicando ambos os lados da nossa equação temos:

$$\begin{align} \mu(t)\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d}{dt}(\mu(t)\cdot{\color{blue}{y}}) &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \end{align}$$ Integrando ambos os lados para resolver, temos: $$\begin{align} \mu(t)\cdot{\color{blue}{y}} &= \int\mu(t){\color{orange}{b(t)}}dt \end{align}$$

Passos para resolver a EDO 1º ordem não homogênea utilizando o fator de integração:

• Colocar a equação na forma:

$$\begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align}$$

• Obter o fator de integração:

$$\begin{align} \mu(t) = e^{\int\color{orange}{g(t)}dt} \end{align}$$ - Multiplicar ambos os lados por $\mu(t)$:

$$\begin{align} \mu(t)\frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + \mu(t){\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= \mu(t){\color{orange}{b(t)}} \end{align}$$ - Notar que o resultado do lado esquerdo é o resultado da regra do produto, integrando ambos os lados resulta em:

$$\begin{align} \mu(t)\cdot{\color{blue}{y}} &= \int\mu(t){\color{orange}{b(t)}}dt \end{align}$$

Resolve se a integral, note que nesta última integração devemos adicionar a constante de integração. Isolando o $y(t)$ (quando possível) tem-se a solução geral explícita da EDO, caso contrário tem-se a solução geral implícita.

Método para solução de uma EDO 1º ordem linear não-homogênea - (Variação de parâmetros):

É um método muito similar ao do fator de integração, porém com outra abordagem. Este é um método aplicado regularmente para resolver EDO’s de 2º ordem com mais eficiência que o anterior.

Procedimento geral:

• Encontrar a solução (não trivial, não zero) da EDO homogênea $\color{cyan}{y_h(t)}$, por separação de variáveis.

$$\begin{align} \frac{{\color{blue}{dy}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{{\color{cyan}{dy_h}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}} &= 0 \end{align}$$

• Variação de parâmetros: substituiremos $\color{blue}{y(t)} = \mu(t)\color{cyan}{y_h(t)}$ na equação não-homogênea, para encontrar a função desconhecida $\mu = \mu(t)$.

$$\begin{align} \frac{{\color{blue}{dy(t)}}}{{\color{orange}{dt}}} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{blue}{y(t)}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \frac{d}{dt}(\mu(t)\color{cyan}{y_h}) + {\color{orange}{g(t)}}\mu(t){\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt}+ {\color{orange}{g(t)}}\mu{\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt}+ {\color{orange}{g(t)}}\mu{\color{cyan}{y_h}} &= {\color{orange}{b(t)}} \\ \\ \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} + \mu(\underbrace{\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}}}_{0}) &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align}$$

Note que o termo $\frac{\color{cyan}{dy_h}}{dt} + {\color{orange}{g(t)}}{\color{cyan}{y_h}} = 0$, resultando em:

$$\begin{align} \frac{d\mu}{dt}\color{cyan}{y_h} &= {\color{orange}{b(t)}} \end{align}$$

• Resolva a equação para $\mu(t)$ por integração:

$$\begin{align} \frac{d\mu}{dt} &= \frac{{\color{orange}{b(t)}}}{\color{cyan}{y_h(t)}} \end{align}$$

• Uma vez que $\mu(t)$ é encontrada substitua em:

$$\color{blue}{y(t)} = \mu(t)\color{cyan}{y_h(t)}$$ Dessa forma se obtém a solução geral da equação não-homogênea.

A ideia toda é que funções da forma $C\color{cyan}{y_h(t)}$ são soluções para a equação homogênea, talvez possamos encontrar soluções para a equação não-homogênea permitindo o parâmetro $C$ variar, por exemplo, substituindo por uma função não-constante $\mu(t)$.