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Derivadas e a física

Em física, o espaço `s` percorrido por um objeto em movimento é uma função do tempo, tal que, `s = f(t)`. Se considerarmos a variação do espaço percorrido por um corpo (`Delta s`) em um determinado intervalo de tempo (`Delta t`), a velocidade média (`v_m`) é representada pela relação:

`v_m = {s_1-s_0}/{t_1-t_0}= {Delta s}/{Delta t} = {f(t+Delta t)-f(t)}/{Delta t}`

onde `s_0` é a posição inicial do objeto, `s_1` sua posição final, `t_0` o tempo inicial e `t_1` o tempo final. Quando `t_1-t_0` tende a zero, ou seja, `Delta t rarr 0` a velocidade é chamada de velocidade instantânea.

`v_i = lim_(Delta t\to 0) quad {Delta s}/{Delta t} = lim_(Delta t\to 0) quad {f(t+Delta t)-f(t)}/{Delta t}`

Assim, se `s=f(t)` define um movimento, a derivada `f'(t)` define a velocidade instantânea do objeto em um instante `t`, ou seja:

`v_i = {ds}/{dt}`

Por exemplo, se considerarmos um corpo em queda livre, a partir do repouso, o espaço percorrido pelo corpo é `s=1//2 gt^2`, sendo `t` em segundos e `g=9,81` m/s² que é a aceleração da gravidade. Então, a derivada `{ds}/{dt} = gt = v`, onde `v` é a velocidade do corpo em um instante `t` qualquer.

Da mesma forma, a aceleração é definida como a variação da velocidade em relação à variação do tempo. A aceleração instantânea, também a derivada da velocidade em relação ao tempo:

`a = {dv}/{dt}`

Outras variações físicas podem ser descritas como derivadas, por exemplo, a corrente elétrica `i` é definida pela variação da quantidade (`q`) de eletricidade que flui através da seção de um condutor em um determinado tempo `t` em Coulombs/s e é expressa pela derivada da carga em relação ao tempo.

`i = {dq}/{dt}`