MatWeb |
Se uma função `f(x)` é constante, sua derivada é nula em qualquer ponto de `x`.
Considerando um função constante, isto é, `f(x)` não varia, quando a variável indenpendente `x` varia, então temos que:
`y=f(x)=k`
onde `k` é uma constante.
| agraph width="400"; height="400"; xmin=-0.5; xmax=4.5; ymin=-0.5; ymax=4.5; initPicture(); axes(); stroke = "blue"; strokewidth = "2"; plot(1.5,-0.2, 4); strokewidth = "1"; markersize = "2"; markerfill="red"; markerstroke="red"; marker="dot"; stroke = "red"; strokedasharray = "4,3"; line([1.5,0],[1.5,1.5]); line([2.5,0],[2.5,1.5]); text([1.5,-0.2],"`x`"); text([2.5,-0.2],"`x+Delta x`"); text([1.5,1.7],"k"); text([2.5,1.7],"k"); text([4.5,1.5],"`y=k`"); endagraph |
Fig. 3 Gráfico de uma função constante (`f(x)=k`).
Neste caso, temos que:
`Delta y = f(x+Delta x)-f(x) = k - k = 0 :.`
`{Delta y}/{Delta x} = 0/{Delta x} = 0`
Assim podemos escrever que:
`f'(x) = lim_(Delta x\to 0) quad 0 = 0`
E, portanto,
`Dk=0`
A derivada de uma variável em relação a ela mesma é igual à unidade.
Esta propriedade das derivadas também é conhecida como derivada da função identidade e, se `f(x)=x` é o mesmo que escrever:
`{Delta y}/{Delta x} = {Delta x}/{Delta x} = 1`
A derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas destas funções.
Sejam `u` e `v` duas funções deriváveis de `x`, tal que `y = u+v`, a qualquer acréscimo `Delta x` da variável `x` corresponderá a um acréscimo `Delta u` e `Delta v` nas funções `u` e `v` e um acréscimo `Delta y` à função `y`. Assim, podemos escrever:
`y+Delta y = u + Delta u + v + Delta v`
`:. Delta y = u+Delta u +v+Delta v - y`
`:. Delta y = u+Delta u +v+Delta v - (u+v) = Delta u + Delta v`
Então,
`{Delta y}/{Delta x} = {Delta u + Delta v}/{Delta x} = {Delta u}/{Delta x} + {Delta v}/{Delta x}`
Portanto, a derivada `D(u+v) = u'+v'`, que é a propriedade distributiva das derivadas em relação à soma.
A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da primeira pela derivada da segunda, somada ao produto da derivada da primeira pela segunda.
Considerando-se `y=u cdot v`, sendo `u` e `v` funções deriváveis de `x`, o incremento de `x`, leva ao incremento de `u` e de `v`. Portanto podemos escrever que:
`y+ Delta y = (u + Delta u) cdot (v+ Delta v) = uv+u Delta v + v Delta u+ Delta u cdot Delta v :.`
`Delta y = uv+u Delta v + v Delta u+ Delta u cdot Delta v - uv :.`
`Delta y = u Delta v + v Delta u + Delta u cdot Delta v`
então
`{Delta y}/{Delta x} = u{Delta v}/{Delta x} + v{Delta u}/{Delta x} + {Delta u}/{Delta x} cdot Delta v`
Quando `Delta x\to 0`, `Delta v // Delta x` tende para `v'` e `Delta u // Delta x` tende para `u'`. Se `Delta v` é derivável, quando `Delta x rarr 0` podemos considerar que `Delta v rarr 0`, desprezando o último termo e portanto:
`y' = D (u*v) = uv' + vu'`
Nota 1: A derivada do produto de três funções podem ser deduzida:
`y=uvw=u(vw) quad :. quad y' = u cdot D(vw) + (vw) cdot u' :.`
`y'= u(vw'+wv')+vwu' = u'vw + uv'w + uvw'`
Nota 2: A derivada de uma função multiplicada por uma constante é igual à constante multiplicada pela derivada da função.
`D(ku) = k cdot Du = ku'`
A derivada de uma função elevada à potência `n` é igual à `n` vezes a função elevada à potência `n-1` multiplicada pela derivada da função.
Seja `y=u^n`, onde `u` é uma função, então:
`y' = D u^n = n u^{n-1} cdot u'`
A derivada de um quociente é igual à diferença dos produtos da primeira pela derivada da segunda menos a segunda pela derivada da primeira, dividida pelo quadrado da segunda.
Seja `y = u//v`, então:
`y' = D(u/v) = {uv'-vu'}/{v^2}`
Nota 3: Se `v=k`, onde `k` é uma constante, então: `y' = {u'}/k`.
Nota 4: Se `u=k`, sendo `k` constante, então: `y'= {-kv'}/{v^2}`.
A derivada da raiz quadrada de uma função é igual à derivada da função, dividida pelo dobro da raíz quadrada da função.
Seja `y= sqrt(u)`, então: `y'={u'}/{2 sqrt(u)}` .
Nota 5: Se `y = rootn(u)` pode-se usar a propriedade da derivada de uma potência (`rootn(u) = u^{1//n}`), ou seja, se
`y = u^{1/n} qquad => qquad y'=1/n cdot u^{(1/n - 1)} cdot u'`
Copyright © 2008 by INE / CTC / UFSC