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Um polinômio é uma expressão matemática formada por constantes e variáveis combinadas em operações de soma, subtração e multiplicação. As variáveis somente podem estar elevadas a expoentes inteiros e não negativos que define o grau de um polinômio. Por exemplo:

`2x^3+4x^2+1`

é um polinômio de grau `3`, enquanto:

`2x^2 +5/x+4`

não é um polinômio, pois seu segundo termo contém uma potência negativa da variável `x` (`5//x = 5x^{-1}`).

Podemos considerar os polinômios como operações com monômios, onde cada monômio é denominado termo do polinômio. As constantes de cada termo são chamadas de coeficientes e pertencem a um mesmo conjunto numérico.

Os polinômios são de grande importância nas ciências pois podem ser usados para modelar ou descrever fatos científicos ou resultados de experimentos. Por exemplo, uma trajetória, a dinâmica de uma reação ou do fluxo de dados em um ambiente de rede podem ser descritos por um ou mais polinônios.

Normalmente, um fato real ou experimental pode ser interpretado como uma função polinomial, se o polinômio pode ser avaliado dentro de um domínio específico, assim representa-se o polinômio como:

`f(x) = 2x^2+3x+4`

Nestes casos, a análise do modelo em questão pode envolver o cálculo das raízes do polinômio, ou seja, os valores que se pode substituir as variáveis para que `f(x) = 0`. Os polinômios de coeficientes reais pode apresentar raízes até o seu grau, podendo ter menos ou mesmo não ter raízes reais. Por exemplo:

`f(x) = x^2 + 1`

não apresenta raízes reais, pois `x^2+1 > 0` para qualquer `x`.

O grau de um polinômio é dado pelo maior expoente da variável ou pela soma dos maiores expoentes, no caso de um polinônio com mais de uma variável. Por exemplo:

O polinômio (1) é de grau 5, enquanto o polinônio (2) é de grau 6 (grau 3 em relação a `x` e grau 3 em relação a `y`).

Existem fórmulas que aprendemos para calcular as raízes de um polinômio de graus 1 e 2, e também, existem fórmulas para calcular as raízes de polinônios de graus 3 e 4. No entanto, não existem fórmulas para calcular as raízes de polinômios de graus 5 ou maiores.

Os polinômios de grau 1 são de fórmula geral: `ax+b` e podem ser calculados por:

`x= -b/a quad | quad a != 0`

Os polinômios de segundo grau são de fórmula geral: `ax^2+bx+c` e podem ser calculados por:

`x_1= {-b + sqrt{b^2 - 4ac}}/{2a}
`x_1= {-b - sqrt{b^2 - 4ac}}/{2a}

As raízes podem ser reais e diferentes se `b^2-4ac > 0`, reais e iguais, se `b^2-4ac = 0` ou complexas se `b^2-4ac < 0` . Note que `x_1 + x_2 = -b //a` e `x_1 x_2 = c/a`.

Os polinônios de grau 3, de fórmula geral `x^3+ax^2+bx+c`, podem ser resolvidos pelo método de Cardano:

1. Primeiro reduzimos o polinômio à forma `y^3+py+q`, onde:

   `p=- a^2/3 + b`     e     `q=2(a/3)^3-{ab}/3+c` ,

   substituindo-se `x` por `y-a//3`.
2. Consideramos então:

   `L=(p/3)^2 + (q/2)^2` ;
   
   `M= root3{- q/2 + sqrt{L}}` ; e
   
   `N= root3{- q/2 - sqrt{L}}`

3. Então calculamos as raízes `y_1`, `y_2` e `y_3`, como:

   `y_1 = M + N` ;
   
   `y_2 = - {M+N}/2 + i {M-N}/2 sqrt{3}` ; e
   
   `y_3 = - {M+N}/2 - i {M-N}/2 sqrt{3}`

   para valores reais das raízes cúbicas.

Se `L` for positivo, o polinômio tem uma raíz real e duas raízes que são complexos conjugados; se `L=0` o polinômio terá 3 raízes reais com pelo menos duas raízes iguais; e se `L` for negativo, então o polinômio terá 3 raízes reais diferentes.

As equações quárticas (de quarto grau) ainda podem ser resolvidas por metodos matemáticos (Método de Descartes-Euler e método de Ferrari). Entretanto, as equações superiores não podem ser resolvidas por métodos algébricos convencionais. (Veja mais sobre polinômios na Wikipedia).

Nota: A solução de equações quárticas na Wikipedia contem erros. A forma correta está em francês: veja aqui.

Polinômio de grau 2:

`x^2-x-2`

Polinômio de grau 3:

`1/5 x^3 + 4/5 x^2 - 7/5 x -2`

Polinônio de grau 4:

`1/14 (x^4+x^3 -13x^2 -x +19)`

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