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Números complexos

Os números complexos são entidades matemáticas formadas por uma parte real e uma parte imaginária e por isso são chamados, algumas vezes, de números imaginários. Estes números não são números no senso estrito da aritmética, ou seja, não são usados para contar ou medir; são uma classe de objetos matemáticos definidos como a soma de um número real `x` e um número imaginário `iy` onde `i = sqrt{-1}`.

Em matemática, usa-se representar a unidade imaginária por `i`, mas em engenharia elétrica, como `i` representa a corrente elétrica, costuma-se representá-lo por `j`. Esta unidade é definida como pelas relações:

`i^2 = (-i)^2 = -1 quad`,`qquad i=sqrt{-1} qquad` e `qquad -i=-sqrt{-1}`

Pode parecer estranho que um número elevado ao quadrado seja igual a menos 1 mas, temos que lembrar, que estamos definindo um novo conjunto da matemática, chamado conjunto complexo e representado por `CC`. assim, as relações acima são novos axiomas.

Dois números complexos com partes reais e imaginárias iguais, tal que `c=a+ib` e `c^{\star} = a-ib` são chamados de complexos conjugados.

Propriedades dos complexos

As propriedades de adição e multiplicação dos números complexos são as mesmas dos números reais, considerando-se que:

`i^2 = -1 qquad i^3 = -i qquad i^4 = 1`

`i^{4n+1} = i qquad i^{4n+2} = -1 qquad i^{4n+3} = -i qquad i^{4n+4} = 1 qquad (n = 0,1,2,...)`

Sejam `c_1 = a_1 + ib_1` e `c_2 = a_2 + ib_2` dois números complexos, então:

`c_1+-c_2 = (a_1+-a_2)+i(b_1+-b_2)`
`c_1 c_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2)+i(a_1 b_2 +a_2 b_1)`
`c_1 / c_2 = {a_1 + ib_1}/{a_2+ib_2} qquad (c_2 != 0)

Além destas propriedades, as relações dos complexos conjugados são:

`(c^{\star})^{\star} = c`
`(c_1+c_2)^{\star} = c_1^{\star} + c_2^{\star}`
`(c_1c_2)^{\star} = c_1^{\star} c_2^{\star}`
`(c_1/c_2)^{\star} = c_1^{\star}/c_2^{\star} qquad (c_2 != 0)`

Seja `a` a parte real de `c` e `b` a parte imaginária de `c`, então:

`a=Re(c)={(c+c^{\star})}/2 qquad b=Im(c)={(c-c^{\star})}/{2i}`

Representação geométrica dos complexos

Para compreendermos melhor a relação entre os dois conjuntos (`RR` e `CC`) vamos imaginar um plano, onde podemos expressar o número complexo por meio de coordenadas retangulares (veja aqui o que são coordenadas retangulares).

agraph width="300"; height="300"; xmin=-0.5; xmax=6.5; ymin=-0.5; ymax=6.5; initPicture(); axes(); setBorder(0); stroke = "blue"; strokewidth = "2"; plot(x/1.5,0,6); stroke = "red"; strokewidth = "1"; strokedasharray = "4,3"; dotradius="2" markerfill="red"; markerstroke="red"; dot([6,4]); line([6,0],[6,4]); line([0,4],[6,4]); arc([0.6,0],[0.6,0.4],0.6); text([6.2,4.2],"`z`"); text([1,0.4],"`theta`"); text([-0.2,-0,2],"`0`"); text([-0.2,4],"`y`"); text([6,-0.2],"`x`"); text([-0.3,6],"`Im`"); text([6.3,-0.3],"`Re`"); endagraph

Fig. 1. Plano Complexo.

Seja `z` um número complexo descrito no plano pelas coordenadas `(x,y)` tal que `z = x+iy`, onde `i=sqrt{-1}quad`, `x in RR quad` e `y in CC`.

Outra maneira de expressarmos um número complexo é por meio de coordenadas polares (veja aqui o que são coordenadas polares), onde `x= r cos theta` e `iy= r i sin theta`, onde `r` é o módulo ou magnitude de `z` (`r = |z|`). Considerando-se a identidade de Euler:

`cos theta + i sin theta = e^{i theta}`

Podemos escrever:

`z=re^{i theta}

Propriedades geométricas dos complexos

Do ponto de vista geométrico, a adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e radiciação de números complexos podem ser tratados como estas operações sobre vetores, uma vez que um número complexo pode ser representado no plano `Re xx Im`. Desta forma, sejam dois números complexos `z_1` e `z_2`, tal que:

`z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)`
e
`z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)`

Pode-se deduzir que:

`z_1+z_2 = r_1 cos theta_1 + r_2 cos theta_2 + i(r_1 sin theta_1 + r_2 sin theta_2)`
`z_1 z_2 = r_1 r_2 [cos (theta_1+theta_2) + i sin (theta_1+theta_2)]`
`z_1/z_2=r_1/r_2[cos(theta_1-theta_2)+i sin(theta_1-theta_2)] (z_2!=0)`
`z^p = r^p (cos theta + i sin theta)^p = r^p[cos(p theta)+i sin(p theta)]`

Veja mais sobre números complexos na Wikipedia.