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Logarítmos

Assim como a radiciação é uma inversa da exponenciação com relação ao radical ou potência, o logarítmo é uma função relacionada à exponenciação com relação à base exponencial.

O logarítmo de um número é o expoente que se deve elevar uma base para se produzir o número. Por exemplo, o logaritmo de 10.000 na base 10 é 4, porque `10^4 = 10.000`. Já o logaritmo de 16 na base 2 também é 4, pois `2^4=16`.

A notação para logaritmo é feita usando-se a abreviação `log` com a base como índice e o número, por exemplo:

`log_{10} 10.000 = 4` e `log_2 64 = 6`

Normalmente, o `log_{10}` é notado apenas de `log` e o log de qualquer outra base `b` é sempre explicitado como `log_b`.

Por definição, dizemos que `log_c a = x quad | quad c^x = a`, ou seja, o logaritmo de `a` na base `c` é `x`, tal que a base `c` elevada à potência `x` é igual a `a`.

Propriedades dos logarítmos

O logarítmo da própria base é igual a 1: `log_a a = 1` ;
O logarítmo da base elevada a um expoente é igual ao expoente: `log_a a^p = p` ;
O logarítmo de 1 em qualquer base é igual a zero: `log_n 1 = 0` ;
O logarítmo de uma multiplicação é igual à soma dos logarítmos de cada termo na mesma base: `log_b (xy) = log_b x + log_b y` ;
O logarítmo de uma razão é igual à diferença do logarítmo do numerador e do denominador da razão: `log_b (x//y) = log_b x - log_b y` ;
O logarítmo de um número elevado a uma potência é igual à potência multiplicada pelo logarítmo do número: `log_b x^y = y times log_b x` ;
O logarítmo da raíz de um número é igual ao logarítmo do número dividido pelo radical: `log_b root{y}{x} = 1/y quad log_b x` ;

As bases dos logarítmos se relacionam entre si de forma que:

`log_b x = log_a x quad log_b a = {log_a x}/{log_a b}`

A partir daí podemos deduzir que:

`log_b a = 1 /{log_a b}`

esta propriedade é conhecida como mudança de base.

Logarítmo natural

Existe um interesse particular em um logarítmo chamado de base natural ou base `e`. O número `e` é definido como o limite da expressão:

`e quad = quad lim_(n->infty) (1 + 1/n)^n quad ~= quad 2,71828182... `

quando `n` tende ao infinito. O logaritmo de base `e` é notado como `ln`. Sua relação com o `log_{10}` pode ser deduzida por:

`ln x = log x/log e`

e, portanto,

`log x = ln x / ln 10`

Utilidade dos logarítmos

Os logatítmos são muito utilizados para representar dados em escalas relativas, principalmente quando as variações são grandes ou pequenas demais nas bases e relativamente perceptíveis nos expoentes, ou seja, são úteis em escalas quando elas tem de cobrir uma faixa muito grande de valores.

Por exemplo, em física ou engenharia, a utilização de múltiplos de exponencial de base 10 são muito comuns, isto é, números como `0,000000123` podem ser representados por potência de 10: `1,23 times 10^{-7}`. Assim, grandezas que oscilam exponencialmente podem ser melhor analisadas por meio de seus logarítmos. A escala de pH da química, a escala de intensidade sonora em decibéis e a escala Richter de terremotos são escalas logarítmicas.