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Números Reais

A matemática é baseada em vários axiomas. Um axioma é uma proposição que não pode ser demonstrada como acontece com um teorema. Um axioma é considerado uma verdade e serve para a demonstração de outras teorias. Na matemática, para que tudo funcione é preciso que aceitemos estes axiomas como verdades. Bem, nem tanto assim, pelo menos grande parte dos teoremas da matemática dependem desta aceitação... mas tem um cara que duvida de tudo isso (veja quem).

O conjunto dos números reais é um conjunto da matemática que compreende todos os números inteiros, racionais e irracionais, incluindo o zero. Normalmente indicamos este conjunto pelo símbolo `RR`.

Um dos fundamentos axiomáticos dos números reais está ligado com as propriedades das operações que vimos anteriormente. Além destas propriedades existem outras que a matemática formal aceita como axiomas. Estas propriedades parecem muito óbvias... por isso mesmo são considerados axiomas.

Vejamos algumas proposições óbvias.

Números Inteiros

Os números inteiros positivos, chamados de números naturais e representados por `NN`, são números ordenados, tal que `n` é maior que `m` (`n>m`) se, e somente se, `n=m+x`, onde `x in NN`.

O princípio da indução finita é um axioma que diz que:

O conjunto `NN` (dos números naturais) contem o `1` e todos os `n` sucessores `n+1` de cada um de seus elementos.
No conjunto `NN`, qualquer número menor que `n` é inteiro e positivo.

Os 5 axiomas de Peano completam a definição dos números naturais:

`1` é um inteiro positivo;
Cada inteiro positivo `n` tem um sucessor `S( n)=n+1`;
`S( n)!=1`;
`S( n)=S( m)` implica em `n=m`;
O princípio da indução finita se aplica a `NN`;

O conjunto dos números inteiros compreende todos os números inteiros positivos e negativos, incluído o zero e são representados por `ZZ`(O conjunto dos números inteiros excluindo-se o zero é representado por `ZZ^{\star}`).

`ZZ = {-infty, quad ... quad, -2, -1, 0, 1, 2, quad ... quad, infty}`

Um inteiro é negativo se, e somente se, ele não for positivo nem zero. Óbvio, não é? Pois bem... mais um axioma.

Números Racionais e Irracionais

Os números racionais são também conhecidos como frações, como por exemplo `a//b` e são representados por `QQ` tal que `a` pertence aos números inteiros e `b` pertence aos inteiros menos o zero:

`QQ={a/b quad | quad a in ZZ quad ^^ quad b in ZZ^{\star}}``

O nome vem de "razão" por representarem a razão entre dois números inteiros. Os números que não podem ser representados por frações são chamados de irracionais e são representados por `I` como, por exemplo, o número `pi`, a base natural `e` etc..