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Operações fundamentais

"A matemática é a linguagem que Deus usou para escrever o universo."

Galileu Galilei

A matemática é uma das principais áreas do conhecimento que se aplica a tudo. Da arte até as mais complexas teorias científicas têm, na matemática, um ponto de apoio para o seu desenvolvimento.

A matemática é como uma corrente, se um elo se perde, não se consegue ligar o elo seguinte. Pensei então, porque não começar pelo primeiro elo: As quatro operações.

As quatro operações fundamentais da matemática são duas a soma e a subtração. Como assim? Quatro que são duas? ... Bem, na verdade é uma só, pois a subtração pode ser considerada como a soma de um elemento pelo inverso do outro. As outras duas, a multiplicação e a divisão, são somas e subtrações sucessivas, respectivamente.

Ok. Sei que vocês sabem somar, subtrair, multiplicar e dividir... mas lembram-se das propriedades de cada uma destas operações? Se lembram, bem... se não se lembram podemos recordá-las, pois elas são muito importantes nas definições de outras entidades matemáticas. Além disso, os números podem ser vistos como uma diversão... um game, mas para jogá-lo, precisamos saber todas as regras.

Adição

A adição é a operação fundamental da aritmética e suas propriedades são:

Comutativa: A ordem dos fatores não altera o resultado final, ou seja: `a+b=b+a`.
Associativa: As parcelas podem ser agrupadas de qualquer maneira, ou seja: `a+(b+c)=(a+b)+c`.
Identidade: Qualquer fator somado a zero é ele mesmo. O zero recebe o nome de "elemento neutro" da adição. Logo: `a+0=a` e se `a+b=c` então, `a+b+0=c`.
Fechamento: A soma de dois números reais sempre será um número real.
Recíproca: A soma de qualquer número com o seu negativo é zero, ou seja: `a+(-a)=0`, `(-b)+b=0` etc..

Estas propriedades podem parecer óbvias, mas a matemática tem um certo rigor e, muitas vezes parece que os matemáticos gostam de complicar. Não se trata disso, é que, como ciência exata, a matemática tem que estar solidamente apoiada em "alicerces" seguros. Querem ver? Então vamos às formalidades.

Dados `{a,b,c,0}`, então:
  `a+b=b+a quad => quad {a,b} in RR`
  `a+(b+c)=(a+b)+c quad => quad {a,b,c} in RR`
  `a+0=a equiv Id(a) quad => quad a in RR` (identidade)
  `a+b=c quad | quad {a,b} in RR :. c in RR`
  `a+(-a) = 0 quad AA a`

Note que é apenas uma maneira matemática de dizer a mesma coisa.

Notação

A notação da adição é feita com o sinal `+`, geralmente de forma interfixa, ou seja, entre os operandos, por exemplo `1+2+3`. A notação polonêsa: + 1 2 e polonêsa reversa: 1 2 + pode ser usada algumas vezes (Ver na Wikipedia).

A soma consecutiva de uma série pode ser indicada por elipse (3 pontos) como, por exemplo, `1+2+3+...+10` especifica a soma de todos os inteiros de 1 a 10. Uma forma mais elegante de expressar as somas consecutivas utiliza a letra grega sigma maiúscula (`sum`) que pode indicar o limite inferior e superior da operação. Por exemplo:

`sum_{i=1}^{10} i = 1+2+3+...+10`

Pode-se considerar, ainda, a soma de termos infinitos, substituindo-se os limites inferiores e/ou superiores por `infty`:

`sum_{i=0}^{infty} x_i = x_0+x_1+x_2+...`

Subtração

A subtração é a operação inversa da adição, ou seja, a adição de uma positivo com uma quantidade negativa. Assim, todas as propriedades da adição se aplicam à subtração com excessão da propriedade recíproca, pois `-a-(+a)=-2a` e `a-(-a)=2a`.

Multiplicação

A multiplicação é uma série consecutivas de somas de um mesmo fator, ou seja, multiplicar por 2 é o mesmo que somar duas vezes o mesmo operando. Assim `2 times a = a+a` e `4 times a = a+a+a+a`. As propriedades da multiplicação são:

Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, `ab=ba`
Associativa: os fatores podem ser agrupados de qualquer maneira, ou seja, `a(bc)=(ab)c`.
Identidade: qualquer operando multiplicado por 1 é igual a ele mesmo, ou seja, `a cdot 1=a`, `b times 1=b` etc..
Distributiva: a multiplicação de um fator por uma expressão é igual à operação da multiplicação do fator por cada membro da expressão, ou seja, `a(b+c)=ab+ac`, `a(b-c)=ab-bc`.
Nulidade: a multiplicação pelo elemento nulo (zero) resulta em zero: `a times 0 =0`.
Recíproca: um operando multiplicado pelo seu inverso (ou recíproco) é igual à unidade, ou seja, `a times a^{-1} = a times 1//a = 1`.

Notação

A operação de multiplicação pode ser notada de várias maneiras. Pode-se usar o sinal de vezes (`times`), um ponto no centro da linha (`cdot`) ou, quando não há possibilidade de confusão pode-se colocar os fatores lado a lado. Exemplos: `a times b` ou `a cdot b` ou `ab`.

Assim como na soma, pode-se usar a elipse para multiplicação de séries (`1 times 2 times 3 times ... times n`) ou usar a letra grega pi maiúscula (`Pi`) para exprimir uma série de multiplicações:

`prod_{i=0}^n a_i = a_1 times a_2 times a_3 times ... times a_n`

Divisão

A divisão é a operação inversa da multiplicação e compartilha as mesmas propriedades, exceto a da nulidade pois não é admitida a divisão por zero. Isto faz com que a divisão fique restrita a um conjunto de números. Matematicamente podemos expressar a divisão como pertencente a um conjunto que chamamos de racionais que representamos por `QQ` (são as famosas frações):

`QQ={a/b | a in ZZ and b in ZZ^*}`

onde `ZZ` representa o conjunto dos números inteiros e `ZZ^*` representa o cojunto dos inteiros menos o zero.

Notação

A divisão pode ser notada como uma barra, um traço horizontal ou um sinal de divisão. Exemplos:

`a//b`, `a/b` ou `a -: b`

Como um número ou uma variável pode ser expresso por ele mesmo elevado ao expoente 1 (`a=a^1`), o inverso deste número ou variável (`1//a`) pode ser expresso como elevado ao expoente -1 (`a^{-1}`).

Pois bem, agora já temos as primeiras regras do nosso jogo. OK, não são tantas assim... mas a partir daí podemos definir tudo em matemática. Passemos então à definição das peças do nosso jogo... ou seus conjuntos.

No próximo tópico... o conjunto dos números reais!