O QUE É "GEOPLANO" ?

Alguns conceitos matemáticos são de difícil assimilação, especialmente aqueles referentes ao cálculo de áreas e de perímetros de polígonos. Estes assuntos são, algumas vezes, abordados de maneira pobre pelos livros de matemática. Resume-se em colocar figuras geométricas e traçar teorias para demonstrar como se encontra a área ou o perímetro de tal figura. Para os alunos, principalmente crianças, torna-se extremamente cansativo e desinteressante. Vale ressaltar que a matemática é muitas vezes reconhecida como sendo a disciplina mais complicada para uma boa parte dos estudantes.

O objeto Geoplano foi criado com a intenção de sanar alguns destes problemas. Com ele, o aluno poderá desenvolver conceitos próprios referentes ao assunto. Servirá como estímulo para sua criatividade e conseguirá aprender de maneira divertida. Para uma criança, qualquer artifício que chame sua atenção é suficiente para que ela demonstre interesse e aprenda algo. O Geoplano é uma alternativa para os métodos tradicionais de ensino e por isto está sendo abordado intensamente neste projeto.

O objeto Geoplano é formado por um pedaço de madeira, com dimensão aproximada de 20x20 cm, e por pregos, formando um quadriculado. Ao passarmos um elástico circular entre este pregos, polígonos serão formados. Baseado nesta formação, alguns conceitos podem ser elaborados: a unidade de comprimento é a distância entre dois pregos contíguos e a unidade de área é a superfície do menor quadrado formado pelos pregos.

O Geoplano foi criado pelo professor Caleb Gattegno, do Institute of Education, London University. Em seu artigo A Pedagogia da Matemática, Gattegno conclui:

Todos os Geoplanos têm indubitável atrativo estético e foram adotados por aqueles professores que os viram ser utilizados. Podem proporcionar experiências geométricas a crianças desde cinco anos, propondo problemas de forma, dimensão, de simetria, de semelhança, de teoria dos grupos, de geometria projetiva e métrica que servem como fecundos instrumentos de trabalho, qualquer que seja o nível de ensino.

Machado afirma que um objeto concreto, como o Geoplano, facilita o aprendizado:

Pensamos que a Matemática tem sido ensinada em quase todos os níveis com uma ênfase que consideramos exagerada na linguagem matemática. A preocupação central parece ser escrever corretamente, falar corretamente, em detrimento essencialmente do papel que a Matemática pode desempenhar quanto ao favorecimento de um pensamento, a um tempo, ordenado e criativo. Evidentemente, não se trata de contrapor o pensamento à linguagem; não se pode pretender considerá-los desvinculadamente, ou entificá-los, tratando-os um por vez, uma vez que é só na relação entre ambos que se pode apreendê-los. No entanto, em Matemática, com uma freqüência muito grande, o pensamento situa-se a reboque da linguagem matemática. Numa parte considerável dos textos, mesmos dos didáticos, o caminho escolhido para a obtenção dos resultados é o mais curto, o mais cômodo ou o estritamente mais agradável, sempre de um ponto de vista linguístico.

E Seymour Papert, salientando a facilidade com que crianças conseguem absorver vários conhecimentos antes da fase escolar (aprendizagem sem ensino ou piagetiana), declara :

Se realmente olharmos a criança como um construtor estamos no caminho de uma resposta. Todos os construtores necessitam materiais para as suas obras...Em alguns casos, o meio cultural fornece os materiais em abundância, facilitando assim o aprendizado construtivo piagetiano /.../ Mas em muitos casos em que Piaget explicaria o desenvolvimento mais lento de um conceito através de sua maior complexidade ou formalidade, eu vejo o fator crítico como sendo a relativa pobreza do meio cultural em materiais que tornariam o conceito simples e concreto. Em outros casos, ainda, o meio cultural pode fornecer o material mas bloquear o seu uso. No caso de matemática formal há tanto uma falta de materiais quanto um bloqueio cultural.

Esta aprendizagem sem ensino ou piagetiana justifica a criação de um objeto como o Geoplano. Denomina-se de psicogenético o método criado a partir das teorias e pesquisas piagetianas, porque o processo pedagógico modifica-se, sucessivamente, de acordo com o estágio de desenvolvimento mental (psicogenêse) . A criança é que determina como o professor deve apresentar as situações didáticas, pois, em cada estágio de desenvolvimento, a criança tem maneira diferente de aprender (esquemas de assimilação). A alfabetização , por exemplo, pode iniciar-se, desde a mais tenra idade, se apresentarmos o material de leitura de acordo com os processos mentais que a criança está construindo no momento. O processo didático, abreviadamente, segue estas linhas fundamentais:

• todo conteúdo ou lição é apresentado em forma de situação/problema, que deve ser resolvido pela criança (apelo a inteligência);

• toda solução de problema é resolvida em grupo, para que as crianças se estimulem, mutuamente, e aprendam a cooperar (comportamento moral e afetivo);

• a criança deve sempre "tomar consciência" dos mecanismos de que se utilizou para realizar a atividade proposta (a "tomada de consciência" substitui o que se chamava, antigamente, "fixação da aprendizagem" , permitindo a criança compreender com funciona a mente).

• os resultados são apurados observando os mecanismos mentais usados pelos alunos e não pelas performances e/ou acertos (o erro revela os mecanismos do jogo no comportamento da criança).

Surge mais um termo, utilizado por Papert, que é "objeto-de-pensar-com". Este termo refere-se aos artifícios que Papert utilizava quando criança, permitindo-lhe a assimilação de vários conceitos matemáticos. Ressalta a importância destes objetos para o aprendizado. O Geoplano pode, então, ser reconhecido como um destes objetos.

Neste exemplo, perceberemos como o Geoplano torna fácil o cálculo de áreas e a assimilação dos conceitos geométricos calculando a área de um paralelogramo.

Paralelogramo

A área do paralelogramo pode ser calculada como: 4 unidades de área + 2 vezes (um retângulo de 2 unidades dividido ao meio), então 4+2 * (2/2) = 4+2 = 6. Portanto, Área = 6 unidades de área.

O cálculo da área do próximo polígono (Figura 1) é mais complexo. A estratégia utilizada: o polígono foi subdividido em três partes básicas, conforme mostram as três cores da figura 2, de tal forma a se ter figuras mais simples e quando necessário o Geoplano foi ampliado para melhor visualização.

Figura1

Figura 2

A primeira parte está representada na figura 3. A segunda parte na figura 4.

Figura 3

Figura 4

O cálculo da área do triângulo da figura 3 pode ser feito de várias maneiras, uma delas considera o quadrado de 4 unidades no contorno e a exclusão das áreas dos triângulos em cinza, assim 4-1-1-1/2 = 3/2.

O cálculo da área do triângulo assinalado na figura 4, foi feito com o Geoplano ampliado, sendo que uma nova malha de dimensão 5X5 foi ajustada, nesse caso cada unidade de área corresponde agora a 1/16 da unidade original. Aqui de novo considerou-se o quadrilátero circundante que tem área de 16 e obteve-se: área = 1/16 * [ 16-4-8 ] = (1/16) * 4= 1/4. Considerando dois triângulos de mesma área, temos (¼) * 2 = ½ .

A figura 5 mostra a terceira parte do cálculo da área da figura de interesse. Esta figura foi subdividida em três outras, mostradas nas figuras 6, 7 e 8.

Figura 5

Figura 6

Figura 7

A área assinalada na figura 6 também está representada num Geoplano ampliado com nova subdivisão da malha quadriculada. Nesse casso a área é igual 1/16 * 5/4 = 5/64. Considerando duas figuras iguais, temos 2x5/64 = 5/32. A mesma estratégia foi aplicada na figura 7. Área 1/16 * (1 + ½ + 2 ¼ ) = 1/8.

Figura 8

Na figura 8, o Geoplano foi novamente ampliado e uma nova malha 5x5 foi ajustada, fazendo com que cada unidade de área seja, agora, 1/16 de 1/16, isto é (1/16)2. Logo a área da figura toda é (1/16)2 * 25/4 (parte pintada de vermelho) mais a área da superfície pintada de preto. Como a figura pintada de preto é uma repetição da figura anterior, temos: Área = [ (1/16)2 * 25/4 + (1/16)3 * 25/4 + (1/16)4 * 25/4 + ...] . Essa expressão representa uma soma de infinitos termos em progressão geométrica cujo limite é dado por 25/4 * (1/16)2= 25/4 * 1/240 = 5/192. Portanto, a área da figura 1 é: Área = 3/2 + 1/2 + 5/32 + 1/8 + 5/96 = 224/96 = 2,333...